Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

22 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
Mesure de qualité 1.6. Soit k le nombre de clusters. Après avoir appliqué le spectral clustering
pour une valeur de k, on définit la matrice de confusion , notée C ∈ Mk,k(R), de la façon suivante :
les éléments Cij définissent le nombre de points qui sont assignés au cluster j au lieu du cluster i
pour i = j et Cii le nombre de points correctement assignés pour chaque cluster i. On définit alors
un pourcentage de points mal-classés, noté Perreur, par :
Perreur =
k
i=j Cij
N
où N est le nombre de points et k le nombre de clusters.
Le pourcentage d’erreur Perreur issu de la matrice de confusion donne une estimation de l’erreur
réelle dans la méthode de clustering. Cette mesure est donc testée sur les exemples géométriques
précédemment présentés et, sur la figure 1.9, le pourcentage d’erreur Perreur est tracé en fonction
des valeurs de σ. Sur certains exemples comme (b), (e) et (f), les premières valeurs de σ ne sont pas
testées car pour ces valeurs proches de 0, le conditionnement de la matrice affinité A est mauvais
(supérieur à 10 13 ) ce qui ne permet pas de faire converger les algorithmes de recherche de valeurs
propres et vecteurs propres. De plus, les valeurs de σ supérieures à l’intervalle considéré pour chaque
exemple ne présentent pas d’intérêt car le pourcentage d’erreur Perreur reste supérieur ou égal à
celui de la dernière valeur de σ représentée sur la figure 1.9. Les lignes verticales noire, verte et
magenta en pointillés indiquent respectivement la valeur du paramètre heuristique (1.2), celle du
paramètre heuristique (1.3) et celle définie par Brand [20]. Suivant les exemples, l’intervalle sur
lequel il n’y a pas d’erreur de clustering varie considérablement d’un cas à l’autre : par exemple,
la longueur de l’intervalle peut être de l’ordre de 0.4 pour (b) ou être inférieure à 0.1 pour (a)
et (c). En effet, le pourcentage d’erreur Perreur varie instantanément quand σ n’appartient plus à
l’intervalle adéquat. Comparées aux résultats numériques de la figure 1.3, les valeurs d’heuristiques
pour lesquelles le partitionnement est incorrect appartiennent à l’intervalle où Perreur est supérieure
à 0%. Les valeurs des heuristiques (1.2) et (1.3) correspondent à une valeur de σ avec une erreur de
clustering nulle exceptée pour l’heuristique (1.2) avec l’exemple des deux rectangles étirés figure 1.9
(f). Cette mesure valide donc l’influence du paramètre ainsi que les résultats numériques des figures
1.3, 1.7 et 1.8 pour les différentes heuristiques.
Ratio de normes de Frobenius
La mesure par matrice de confusion donne un très bon outil d’analyse de la qualité du cluster.
Elle demande cependant de connaître l’état exact du clustering à obtenir et ne peut donc pas
être utilisée pour des applications non supervisées. En particulier, on cherche à évaluer de manière
automatique le bon nombre de clusters. Pour ce faire, on propose d’introduire une autre mesure de
qualité calculée directement à partir des données internes au calcul. Après validation, cette mesure
sera introduite par la suite comme outil de la stratégie parallèle présentée au chapitre 4.
Mesure de qualité 1.7. Après avoir appliqué le spectral clustering pour un nombre de clusters k
à déterminer mais que l’on fixe a priori, la matrice affinité A définie par (1.1) est réordonnancée
par cluster. On obtient la matrice par bloc, notée L, telle que les blocs hors diagonaux représentent
les affinités entre les clusters et les blocs diagonaux l’affinité intra-cluster. On évalue les ratios entre
les normes de Frobenius des blocs diagonaux et ceux hors-diagonaux pour i, j ∈ 1, .., k et i = j :
rij = L(ij) F
L (ii) , (1.4)
F