Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

1.3 Validations numériques 19
1.3 Validations numériques
Afin de valider les heuristiques (1.2) et (1.3), elles sont testées sur les 6 exemples géométriques
2D des figures 1.3 et 1.4 :
– (a) smiley constitué de N = 790 points et de k = 3 clusters,
– (b) 2 cercles concentriques avec N = 250 points et k = 2,
– (c) 3 portions de couronnes concentriques de N = 1200 points et k = 3,
– (d) 2 carrés concentriques N = 600 points,
– (e) une cible de N = 650 points constituée de k = 4 couronnes ;
– (f) 2 rectangles étirés de N = 640 points.
Ces exemples sont utilisés par [84, 20, 116] car ils représentent des domaines non-convexes, aux
densités inter-clusters et intra-cluster variables et faisant échouer des méthodes classiques comme la
méthode k-means. Le résultat du clustering pour chaque exemple est présenté sur les figures 1.7 et
1.8. Les heuristiques (1.2) et (1.3) partitionnent correctement les exemples géométriques (a) à (e) et
leurs valeurs sont très proches voire égales car la distribution est isotropique avec approximativement
les mêmes amplitudes suivant chaque direction. Par contre, l’exemple (f) représente un cas où la
distribution est isotropique avec des amplitudes différentes d’un facteur 10 suivant les directions.
Seule l’heuristique (1.3) partitionne correctement. En effet, l’adaptation des dimensions de la boîte
à la distribution des points a divisé par deux la valeur de (1.2).
Pour l’étude plus fine du paramètre, il faut maintenant introduire des critères, des mesures
de qualités, permettant de valider ces heuristiques et de montrer l’influence du paramètre sur les
résultats.
1.3.1 Mesures de qualité
Plusieurs critères pour évaluer l’efficacité du résultat de clustering existent. Parmi eux, Meila [78]
introduit la Variation d’Information (VI) pour comparer deux clusterings. La VI est une métrique
évaluant la quantité d’information gagnée ou perdue d’un cluster à un autre utilisant l’entropie
associée à un cluster et l’information mutuelle. La différence entre deux clusters peut être mesurée
avec l’indice de Wallace introduit par Wallace [109]. Elle consiste à calculer la probabilité (donc à
valeur dans [0, 1]) qu’un couple de points soit correctement classé. Cet indice donne la valeur 1 si
le clustering n’a pas d’erreur.
Dans cette section, nous nous intéresserons à la matrice de confusion de Verma et Meila [104]
permettant d’évaluer le pourcentage exact de points mal classés. Puis nous définissons une nouvelle
mesure de qualité basée sur les normes de Frobenius de blocs d’affinités pour comparer les affinités
entre les clusters et celles intra-clusters. Dans les deux cas, nous étudierons sur deux exemples
géométriques l’évolution de la qualité en fonction des valeurs du paramètre σ.
Matrice de Confusion
Introduite par Verma et Meila [104], la matrice de confusion évalue l’erreur réelle de clustering
c’est-à-dire le nombre de points mal assignés au sein des clusters. Elle suppose donc que les clusters
sont connus a priori.