Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

18 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
Heuristique 1.4. Soit un ensemble de points S = {xi, 1 ≤ i ≤ N} dont la distribution est isotropique
avec des amplitudes différentes suivant les directions. Chaque élément de S est inclus dans
une boîte rectangulaire de dimension p de côté ρk pour la k-ième dimension défini par :
ρk = max
1≤i≤p xi(k) − min
1≤j≤p xj(k), k ∈ {1, . . . , N}, pour k ∈ {1, .., p}.
Alors, le paramètre gaussien σ est une fraction de la distance référence, notée ¯σ0, définie par :
¯σ0 = Dmax
√ p p
ρ2
i=1 ρi
N
1
p
, (1.3)
où n est le nombre de points et p la dimension des données. Alors, le paramètre gaussien σ2 est égal
à une fraction de la distance référence ¯σ0 :
σ2 = ¯σ0
2 .
Sous l’hypothèse que l’ensemble des données de dimension p est suffisamment isotropique, il
peut exister des directions dans les données avec des variations d’amplitudes. Dans ce cas, le calcul
de σ est adapté en considérant que l’ensemble des points est inclus dans une boîte rectangulaire de
dimension p dont les côtés sont proportionnels aux amplitudes suivant chaque direction comme le
représente la figure 1.6 dans le cas 3D. Pour définir toutes les dimensions des côtés de cette nouvelle
boîte, on calcule alors la plus grande distance entre toutes les paires de points appartenant à S
suivant chacune des directions, notées ρk (pour la k ime dimension), et donnée par :
ρk = max
1≤i≤p xi(k) − min
1≤j≤p xj(k), k ∈ {1, . . . , N} .
Le vecteur ρ = (ρ1, ..ρp) T incorpore les tailles des intervalles dans lesquels chaque variable est incluse.
Dans ce cas, le côté de la boîte rectangulaire reste dans le même esprit que précédemment.
Il est donc fonction du vecteur ρ et du diamètre maximal Dmax. La distance Dmax est alors égale,
p
d’après le théorème de Pythagore à : D 2 max =
i=1
le facteur l étant égal au ratio entre Dmax et la norme euclidienne ρ2 : l = Dmax
.
ρ2
Le volume est alors décomposé en N volumes cubiques de côté ¯σ0 défini par : ¯σ0 = Dmax
√ p p i=1
ρ2
ρi
N
où le facteur √ p permet de retrouver l’équation (1.2) quand ρ est constant et quand la boîte est
carrée.
Une autre façon d’envisager ce cas de distribution aurait été d’utiliser les distances de Mahalanobis.
En effet, ces distances permettent de calculer l’orientation spectrale de la dispersion des
données en fixant les axes principaux et en calculant les amplitudes sur ces axes. Mais cette étape
est coûteuse numériquement et elle repose sur la matrice de variance-covariance donc sur l’hypothèse
que les points sont corrélés entre eux. De plus, dans le cas de données corrélées, une étape
préliminaire par Analyse en Composante Principale est souvent utilisée.
Remarque 1.5. Dans les deux configurations de distributions isotropiques, ces heuristiques restent
sensibles aux artefacts, au bruit et aux densités fortement variables localement. Une possibilité reste
d’appliquer plusieurs fois le clustering spectral dans le cas d’artefact, en modifiant le Dmax à chaque
étape. Cependant, l’approche locale reste privilégiée dans le cas de bruitage de données entre les
clusters et suppose donc une étude plus spécifique de certains clusters.
ρ 2 i l 2 ,
1
p