Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

Table des matières
Table des matières i
Liste des figures v
Liste des tableaux vii
Introduction 3
1 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre 9
1.1 Présentation de la classification spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Algorithme de classification spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Problème du choix du paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Heuristiques du paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Cas d’une distribution isotropique avec mêmes amplitudes suivant chaque
direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Cas d’une distribution isotropique avec des amplitudes différentes suivant les
directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Validations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Mesures de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Exemples géométriques de dimension p ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Méthodes de classification spectrale modifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Cas de données volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Traitement d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne 33
2.1 Diverses interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Présentation du résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Propriétés de classification dans le continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Quelques résultats d’Analyse Fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Classification via l’opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet . . . . 45
2.3.4 Classification via l’opérateur de la chaleur dans R p . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Propriété de classification en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1 Eléments finis de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2 Interprétation des éléments de la classification spectrale . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Propriété de classification du produit (A + IN)M . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.4 Condensation de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
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