Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

1.2.2 Cas d’une distribution isotropique avec des amplitudes différentes suivant les
directions 17
où N est le nombre de points et p la dimension des données. Enfin, le paramètre gaussien σ est pris
égal à une fraction de cette distance référence σ0 : σ = σ0
2 .
Sous cette hypothèse d’isotropie de la distribution, on peut statuer que l’ensemble des points S
est essentiellement inclus dans une boîte carrée de dimension p et de côté borné par Dmax. Si on
désire être capable d’identifier des clusters au sein de S, on doit partir d’une distribution uniforme
de n points inclus dans la boîte de dimension p. Cette distribution uniforme est obtenue en divisant
la boîte en N briques de même taille comme représenté sur la figure 1.5 dans le cas 2D. Chaque
brique est de volume égal à D p max/N et le côté des briques, noté σ0, est donc égal à :
σ0 = Dmax
N 1/p
Dès lors, on peut considérer que s’il existe des clusters, il doit exister des points qui sont séparés
par une distance supérieure à cette fraction σ. Sinon, les points devraient tous être à distance à peu
près égale (de l’ordre de σ0) de leurs plus proches voisins d’après l’hypothèse sur l’isotropie de la
distribution des points et du fait que tous les points sont inclus dans une boîte de côté Dmax. Notre
proposition consiste donc à construire une matrice affinité comme une fonction ratio de distances
entre les points et une distance de référence
.
σ = σ0
2
Remarque 1.3. Cette heuristique représente donc une distance seuil à partir de laquelle des points
sont considérés comme proches. Cette interprétation rejoint aussi celles de Brand et Huang [20] qui
fixent σ égal à la moyenne de la distance entre chaque point de l’ensemble S et son plus proche
voisin. Cependant, cette nouvelle heuristique est moins coûteuse que l’heuristique [20] car une seule
boucle est réalisée sur tous les points pour déterminer Dmax.
1.2.2 Cas d’une distribution isotropique avec des amplitudes différentes suivant
les directions
Figure 1.6 – Principe de l’heuristique (1.3) dans le cas 3D