Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

16 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
correctement les points dans certains cas.
Dans le cadre des applications génomiques et d’imagerie médicale, on a affaire à de grandes masses
de données et nous ne disposons d’aucune information a priori sur les clusters. Donc le choix du paramètre
σ ne doit pas être coûteux numériquement et doit fournir des informations sur la distribution
des points. Une approche globale est donc envisagée pour définir une nouvelle heuristique.
1.2 Heuristiques du paramètre
A l’instar des méthodes probabilistes [37], on souhaite intégrer dans la définition du paramètre
σ à la fois la dimension du problème et la notion de densité de points dans l’ensemble des données
p-dimensionnelles. Pour garder l’efficacité de la méthode, une approche globale est privilégiée
où le paramètre est fonction des distances entre les points. Dans ce but, l’ensemble de points pdimensionnels
est supposé suffisamment isotropique dans le sens où il n’existe pas de direction privilégiée
avec de grandes différences de grandeurs dans les distances entre des points sur une direction.
Deux distributions isotropiques avec diverses amplitudes suivant les directions sont distinguées. Soit
S = {xi, 1 ≤ i ≤ N} un tel ensemble de points et
Dmax = max
1≤i,j≤N xi − xj2 ,
la plus grande distance entre toutes les paires de points dans S.
1.2.1 Cas d’une distribution isotropique avec mêmes amplitudes suivant chaque
direction
Figure 1.5 – Principe de l’heuristique (1.2) dans le cas 2D
Heuristique 1.2. Soit un ensemble de points S = {xi, 1 ≤ i ≤ N} dont la distribution est isotropique.
Les éléments de S sont inclus dans une boîte carrée de dimension p de côté Dmax =
max
1≤i,j≤N xi − xj2. Alors, on définit une distance référence, notée σ0, définie par :
σ0 = Dmax
N 1
p
(1.2)