Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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12 C<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> : algorithme <strong>et</strong> étu<strong>de</strong> du paramètre<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> norme entre chaque couple <strong>de</strong> points, sert <strong>de</strong> pondérateur. Il peut donc, suivant sa valeur,<br />
diminuer l’affinité intra-cluster <strong>et</strong> augmenter celle entre les clusters. Le choix <strong>de</strong> ce paramètre est<br />
donc étudié dans <strong>la</strong> suite.<br />
1.1.2 Problème du choix du paramètre<br />
Dans l’algorithme 1, <strong>la</strong> matrice d’affinité A ∈ MN,N(R), Aij désignant l’affinité entre les obj<strong>et</strong>s<br />
xi <strong>et</strong> xj, possè<strong>de</strong> les propriétés suivantes :<br />
<br />
∀ (i, j), Aij = Aji,<br />
∀ (i, j), 0 ≤ Aij ≤ 1.<br />
Parmi les noyaux <strong>de</strong> Mercer [7, 58], le noyau Gaussien est le plus communément choisi. L’affinité<br />
entre <strong>de</strong>ux points distincts xi <strong>et</strong> xj <strong>de</strong> Rp est alors définie par :<br />
<br />
exp(− xi − xj<br />
Aij =<br />
2<br />
2 /2σ2 ) si i = j,<br />
(1.1)<br />
0 sinon,<br />
où σ est un paramètre <strong>et</strong> .2 est <strong>la</strong> norme euclidienne usuelle. L’expression <strong>de</strong> l’affinité gaussienne<br />
dépend donc d’un paramètre σ. Or, le principe du clustering spectral reposant sur <strong>la</strong> mesure d’affinité,<br />
ce paramètre influe directement sur <strong>la</strong> métho<strong>de</strong>. En eff<strong>et</strong>, σ influe sur <strong>la</strong> séparabilité <strong>de</strong>s<br />
données dans l’espace <strong>de</strong> projection <strong>spectrale</strong> (spectral embedding) comme indiqué dans l’exemple<br />
géométrique <strong>de</strong>s figures 1.2 (a) <strong>et</strong> (b). L’espace <strong>de</strong> projection <strong>spectrale</strong> est tracé pour <strong>de</strong>ux valeurs<br />
différentes <strong>de</strong> σ. Pour <strong>la</strong> première valeur σ = 0.09, les points proj<strong>et</strong>és dans l’espace spectral forment<br />
<strong>de</strong>ux paqu<strong>et</strong>s compacts où les points proj<strong>et</strong>és associés au même cluster sont concentrés autour d’un<br />
seul <strong>et</strong> même point alors que, pour σ = 0.8, les points proj<strong>et</strong>és dans c<strong>et</strong> espace décrivent un arc <strong>de</strong><br />
cercle <strong>et</strong> aucune séparation ou agglomération <strong>de</strong> points ne sont distinguées. Dans ce cas, <strong>la</strong> métho<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> k-means c<strong>la</strong>ssique échoue <strong>et</strong> les clusters sont difficiles <strong>à</strong> déterminer. Il s’en suit les clusterings<br />
respectifs <strong>de</strong>s figures 1.2 (c) <strong>et</strong> (d). Donc un mauvais choix <strong>de</strong> σ a <strong>de</strong>s répercutions sur <strong>la</strong> séparabilité<br />
<strong>de</strong>s clusters dans l’espace propre.<br />
En segmentation d’images [91], ce paramètre est souvent <strong>la</strong>issé libre <strong>et</strong> doit être fixé par les<br />
utilisateurs. Cependant, plusieurs interprétations sur le rôle <strong>de</strong> ce paramètre ont été développées<br />
afin <strong>de</strong> gui<strong>de</strong>r le choix <strong>de</strong> manière automatique ou semi-automatique. Les principales métho<strong>de</strong>s sont<br />
les suivantes.<br />
Seuil<strong>la</strong>ge<br />
Une première approche repose sur l’idée <strong>de</strong> seuil<strong>la</strong>ge [85] via une analyse <strong>de</strong>scriptive <strong>de</strong>s données<br />
[84, 20] ou bien via <strong>la</strong> théorie <strong>de</strong>s graphes [105]. En eff<strong>et</strong>, Perona <strong>et</strong> Freeman [85] définissent σ<br />
comme une distance seuil en <strong>de</strong>ssous <strong>de</strong> <strong>la</strong>quelle <strong>de</strong>ux points sont considérés comme simi<strong>la</strong>ires <strong>et</strong><br />
au-<strong>de</strong>ssus <strong>de</strong> <strong>la</strong>quelle ils sont dissemb<strong>la</strong>bles.<br />
Von luxburg [105] interprète σ comme le rayon du voisinage. Il joue donc un rôle équivalent <strong>à</strong> celui<br />
du ɛ, distance <strong>de</strong> voisinage pour <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> graphe <strong>à</strong> ɛ-voisinage. Ces interprétations donnent <strong>de</strong>s<br />
informations sur le rôle que joue le paramètre σ. Cependant, le choix du seuil reste ouvert <strong>et</strong> non<br />
automatisable.<br />
Approche globale<br />
Une secon<strong>de</strong> approche repose sur <strong>de</strong>s définitions globales <strong>de</strong> ce paramètre, principalement basées<br />
sur l’analyse <strong>de</strong>scriptive <strong>de</strong>s données [20] <strong>et</strong> <strong>de</strong>s interprétations physiques. D’après Ng, Jordan,