Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

12 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
de la norme entre chaque couple de points, sert de pondérateur. Il peut donc, suivant sa valeur,
diminuer l’affinité intra-cluster et augmenter celle entre les clusters. Le choix de ce paramètre est
donc étudié dans la suite.
1.1.2 Problème du choix du paramètre
Dans l’algorithme 1, la matrice d’affinité A ∈ MN,N(R), Aij désignant l’affinité entre les objets
xi et xj, possède les propriétés suivantes :
∀ (i, j), Aij = Aji,
∀ (i, j), 0 ≤ Aij ≤ 1.
Parmi les noyaux de Mercer [7, 58], le noyau Gaussien est le plus communément choisi. L’affinité
entre deux points distincts xi et xj de Rp est alors définie par :
exp(− xi − xj
Aij =
2
2 /2σ2 ) si i = j,
(1.1)
0 sinon,
où σ est un paramètre et .2 est la norme euclidienne usuelle. L’expression de l’affinité gaussienne
dépend donc d’un paramètre σ. Or, le principe du clustering spectral reposant sur la mesure d’affinité,
ce paramètre influe directement sur la méthode. En effet, σ influe sur la séparabilité des
données dans l’espace de projection spectrale (spectral embedding) comme indiqué dans l’exemple
géométrique des figures 1.2 (a) et (b). L’espace de projection spectrale est tracé pour deux valeurs
différentes de σ. Pour la première valeur σ = 0.09, les points projetés dans l’espace spectral forment
deux paquets compacts où les points projetés associés au même cluster sont concentrés autour d’un
seul et même point alors que, pour σ = 0.8, les points projetés dans cet espace décrivent un arc de
cercle et aucune séparation ou agglomération de points ne sont distinguées. Dans ce cas, la méthode
de k-means classique échoue et les clusters sont difficiles à déterminer. Il s’en suit les clusterings
respectifs des figures 1.2 (c) et (d). Donc un mauvais choix de σ a des répercutions sur la séparabilité
des clusters dans l’espace propre.
En segmentation d’images [91], ce paramètre est souvent laissé libre et doit être fixé par les
utilisateurs. Cependant, plusieurs interprétations sur le rôle de ce paramètre ont été développées
afin de guider le choix de manière automatique ou semi-automatique. Les principales méthodes sont
les suivantes.
Seuillage
Une première approche repose sur l’idée de seuillage [85] via une analyse descriptive des données
[84, 20] ou bien via la théorie des graphes [105]. En effet, Perona et Freeman [85] définissent σ
comme une distance seuil en dessous de laquelle deux points sont considérés comme similaires et
au-dessus de laquelle ils sont dissemblables.
Von luxburg [105] interprète σ comme le rayon du voisinage. Il joue donc un rôle équivalent à celui
du ɛ, distance de voisinage pour la méthode graphe à ɛ-voisinage. Ces interprétations donnent des
informations sur le rôle que joue le paramètre σ. Cependant, le choix du seuil reste ouvert et non
automatisable.
Approche globale
Une seconde approche repose sur des définitions globales de ce paramètre, principalement basées
sur l’analyse descriptive des données [20] et des interprétations physiques. D’après Ng, Jordan,