Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

10 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
cet algorithme en considérant un cas idéal avec 3 clusters bien séparés. En partant de l’hypothèse
que les points sont déjà ordonnés consécutivement par classe, la matrice affinité bien que dense, a
alors une structure numérique proche de celle d’une matrice bloc-diagonale. Ainsi, la plus grande
valeur propre de la matrice affinité normalisée est 1 avec un ordre de multiplicité égal à 3. Les lignes
normalisées de la matrice constituée des vecteurs propres associés aux plus grandes valeurs propres
sont constantes par morceaux. Dans l’espace défini par les k = 3 plus grands vecteurs propres de L,
il est facile d’identifier 3 points bien séparés qui correspondent aux 3 constantes par morceaux des
vecteurs propres, ce qui définit les clusters. Un exemple de cas idéal est illustré sur la figure 1.1, où
les différentes étapes de l’algorithme de clustering spectral sont représentées.
(a) Exemple pour N = 300 points (b) Matrice affinité quasi bloc-diagonale
(tronquée en dessous de 10 −15 )
(c) Lignes de Y (d) 3 clusters séparés obtenus à la fin
Figure 1.1 – Illustration des étapes du clustering spectral
Cependant, dans le cas général où les clusters ne sont pas nettement séparés par une grande distance,
la structure numérique bloc-diagonale de la matrice affinité est compromise et peut être considérablement
altérée par le choix de la valeur du paramètre de l’affinité (σ). Ce paramètre, en facteur