Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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10 C<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> : algorithme <strong>et</strong> étu<strong>de</strong> du paramètre<br />
c<strong>et</strong> algorithme en considérant un cas idéal avec 3 clusters bien séparés. En partant <strong>de</strong> l’hypothèse<br />
que les points sont déj<strong>à</strong> ordonnés consécutivement par c<strong>la</strong>sse, <strong>la</strong> matrice affinité bien que <strong>de</strong>nse, a<br />
alors une structure numérique proche <strong>de</strong> celle d’une matrice bloc-diagonale. Ainsi, <strong>la</strong> plus gran<strong>de</strong><br />
valeur propre <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité normalisée est 1 avec un ordre <strong>de</strong> multiplicité égal <strong>à</strong> 3. Les lignes<br />
normalisées <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice constituée <strong>de</strong>s vecteurs propres associés aux plus gran<strong>de</strong>s valeurs propres<br />
sont constantes par morceaux. Dans l’espace défini par les k = 3 plus grands vecteurs propres <strong>de</strong> L,<br />
il est facile d’i<strong>de</strong>ntifier 3 points bien séparés qui correspon<strong>de</strong>nt aux 3 constantes par morceaux <strong>de</strong>s<br />
vecteurs propres, ce qui définit les clusters. Un exemple <strong>de</strong> cas idéal est illustré sur <strong>la</strong> figure 1.1, où<br />
les différentes étapes <strong>de</strong> l’algorithme <strong>de</strong> clustering spectral sont représentées.<br />
(a) Exemple pour N = 300 points (b) Matrice affinité quasi bloc-diagonale<br />
(tronquée en <strong>de</strong>ssous <strong>de</strong> 10 −15 )<br />
(c) Lignes <strong>de</strong> Y (d) 3 clusters séparés obtenus <strong>à</strong> <strong>la</strong> fin<br />
Figure 1.1 – Illustration <strong>de</strong>s étapes du clustering spectral<br />
Cependant, dans le cas général où les clusters ne sont pas n<strong>et</strong>tement séparés par une gran<strong>de</strong> distance,<br />
<strong>la</strong> structure numérique bloc-diagonale <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité est compromise <strong>et</strong> peut être considérablement<br />
altérée par le choix <strong>de</strong> <strong>la</strong> valeur du paramètre <strong>de</strong> l’affinité (σ). Ce paramètre, en facteur