Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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6 Introduction<br />
choisi pour mesure <strong>de</strong> simi<strong>la</strong>rité <strong>et</strong>, <strong>à</strong> l’instar <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s précé<strong>de</strong>mment présentées, il dépend d’un<br />
paramètre sca<strong>la</strong>ire σ qui affecte les résultats [84]. Or, ce paramètre représente le rayon du voisinage<br />
[105] : il sert <strong>de</strong> seuil <strong>à</strong> partir duquel <strong>de</strong>ux points sont déc<strong>la</strong>rés proches ou non. Divers points <strong>de</strong> vues<br />
ont été adoptés pour le définir. Des approches globales [20, 84] <strong>et</strong> locales ont aussi été établies via<br />
<strong>de</strong>s interprétations physiques [42, 116] pour définir ce paramètre. Mais il reste <strong>à</strong> montrer l’influence<br />
<strong>de</strong> ce paramètre sur <strong>la</strong> qualité du clustering <strong>à</strong> travers <strong>de</strong>s mesures quantitatives <strong>et</strong> <strong>à</strong> en dégager une<br />
définition <strong>à</strong> même <strong>de</strong> donner <strong>de</strong>s informations sur <strong>la</strong> partition finale.<br />
D’un autre côté, le fonctionnement même <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> spectral clustering requiert <strong>de</strong>s justifications<br />
théoriques. En eff<strong>et</strong>, <strong>de</strong>s limites sur c<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong> ont été recensées [107, 80, 78]. Malgré<br />
l’explication générale <strong>à</strong> travers <strong>la</strong> conductance d’un graphe, il reste <strong>à</strong> justifier comment le regroupement<br />
dans un espace <strong>de</strong> plus p<strong>et</strong>ite dimension définit correctement le partitionnement <strong>de</strong>s données<br />
d’origines. Plusieurs travaux ont été menés pour expliquer le fonctionnement du clustering spectral.<br />
Comme son principe est <strong>de</strong> regrouper <strong>de</strong>s données <strong>à</strong> travers une notion <strong>de</strong> voisinage, le Clustering<br />
spectral peut être interprété comme <strong>la</strong> discrétisation d’un opérateur Lap<strong>la</strong>ce-Beltrami <strong>et</strong> d’un<br />
noyau <strong>de</strong> chaleur défini sur <strong>de</strong>s variétés sous l’hypothèse d’un échantillonnage uniforme <strong>de</strong> <strong>la</strong> variété<br />
[11, 12, 13]. D’autres raisonnements probabilistes basés sur <strong>de</strong>s modèles <strong>de</strong> diffusion [82, 83, 81] ont<br />
établi <strong>de</strong>s résultats asymptotiques pour un grand nombre <strong>de</strong> points. La consistance <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong><br />
a aussi été étudiée en considérant un grand échantillon <strong>de</strong> données [63, 106]. Des propriétés sous<br />
<strong>de</strong>s hypothèses standards pour les matrices du Lap<strong>la</strong>cien normalisé ont été prouvées, incluant <strong>la</strong><br />
convergence du premier vecteur propre vers une fonction propre d’un opérateur limite. Cependant,<br />
d’un point <strong>de</strong> vue numérique, le Clustering spectral partitionne correctement un ensemble fini <strong>de</strong><br />
points. Considérer un ensemble fini <strong>de</strong> points pose le problème du sens <strong>à</strong> donner <strong>à</strong> <strong>la</strong> notion <strong>de</strong><br />
c<strong>la</strong>sse <strong>et</strong> <strong>de</strong> comment lier les c<strong>la</strong>sses finales <strong>à</strong> <strong>de</strong>s éléments spectraux (valeur propre/vecteur propres<br />
extraits d’une matrice affinité). Il reste <strong>à</strong> expliquer comment le clustering dans un espace <strong>de</strong> projection<br />
spectral caractérise le clustering dans l’espace d’origine <strong>et</strong> étudier le rôle du paramètre du<br />
noyau Gaussien dans le partitionnement.<br />
Enfin, dans le cadre <strong>de</strong> <strong>la</strong> biologie <strong>et</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> segmentation d’images, nous avons affaire <strong>à</strong> un grand<br />
flot <strong>de</strong> données. Le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité sur l’ensemble <strong>de</strong>s données puis <strong>de</strong> son spectre<br />
<strong>de</strong>vient alors très coûteux. Une parallélisation <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong>, notamment <strong>de</strong>s travaux principalement<br />
basés sur <strong>de</strong>s techniques d’algèbre linéaire pour réduire le coût numérique, ont été développés<br />
[44, 92, 38]. Cependant, les algorithmes développés ne s’affranchissent pas <strong>de</strong> <strong>la</strong> construction <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
matrice affinité complète. C<strong>et</strong>te étape reste très coûteuse en temps <strong>de</strong> calcul <strong>et</strong> en stockage mémoire.<br />
De plus, déterminer le nombre <strong>de</strong> clusters reste un problème ouvert. Il reste donc <strong>à</strong> définir<br />
une stratégie parallèle pour traiter un grand nombre <strong>de</strong> données <strong>et</strong> automatiser le choix du nombre<br />
<strong>de</strong> clusters <strong>et</strong> les paramètres inhérents au clustering spectral <strong>et</strong> <strong>à</strong> <strong>la</strong> stratégie parallèle.<br />
P<strong>la</strong>n <strong>de</strong> <strong>la</strong> Thèse<br />
C<strong>et</strong>te thèse se découpe autour <strong>de</strong> quatre chapitres suivant les points d’étu<strong>de</strong> précé<strong>de</strong>mment<br />
évoqués. Nous testerons <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> sur <strong>de</strong>s exemples géométriques en 2D <strong>et</strong> 3D (ou challenges<br />
<strong>de</strong> clustering) <strong>et</strong> sur <strong>de</strong>s cas <strong>de</strong> segmentation d’images sur les quatre premiers chapitres. En eff<strong>et</strong>,<br />
l’aspect visuel pourra nous ai<strong>de</strong>r <strong>à</strong> juger <strong>de</strong> <strong>la</strong> performance <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> avant <strong>de</strong> l’appliquer sur<br />
<strong>de</strong>s cas réels <strong>de</strong> biologie ou d’imagerie médicale dans le quatrième chapitre.