Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

6 Introduction
choisi pour mesure de similarité et, à l’instar des méthodes précédemment présentées, il dépend d’un
paramètre scalaire σ qui affecte les résultats [84]. Or, ce paramètre représente le rayon du voisinage
[105] : il sert de seuil à partir duquel deux points sont déclarés proches ou non. Divers points de vues
ont été adoptés pour le définir. Des approches globales [20, 84] et locales ont aussi été établies via
des interprétations physiques [42, 116] pour définir ce paramètre. Mais il reste à montrer l’influence
de ce paramètre sur la qualité du clustering à travers des mesures quantitatives et à en dégager une
définition à même de donner des informations sur la partition finale.
D’un autre côté, le fonctionnement même de la méthode de spectral clustering requiert des justifications
théoriques. En effet, des limites sur cette méthode ont été recensées [107, 80, 78]. Malgré
l’explication générale à travers la conductance d’un graphe, il reste à justifier comment le regroupement
dans un espace de plus petite dimension définit correctement le partitionnement des données
d’origines. Plusieurs travaux ont été menés pour expliquer le fonctionnement du clustering spectral.
Comme son principe est de regrouper des données à travers une notion de voisinage, le Clustering
spectral peut être interprété comme la discrétisation d’un opérateur Laplace-Beltrami et d’un
noyau de chaleur défini sur des variétés sous l’hypothèse d’un échantillonnage uniforme de la variété
[11, 12, 13]. D’autres raisonnements probabilistes basés sur des modèles de diffusion [82, 83, 81] ont
établi des résultats asymptotiques pour un grand nombre de points. La consistance de cette méthode
a aussi été étudiée en considérant un grand échantillon de données [63, 106]. Des propriétés sous
des hypothèses standards pour les matrices du Laplacien normalisé ont été prouvées, incluant la
convergence du premier vecteur propre vers une fonction propre d’un opérateur limite. Cependant,
d’un point de vue numérique, le Clustering spectral partitionne correctement un ensemble fini de
points. Considérer un ensemble fini de points pose le problème du sens à donner à la notion de
classe et de comment lier les classes finales à des éléments spectraux (valeur propre/vecteur propres
extraits d’une matrice affinité). Il reste à expliquer comment le clustering dans un espace de projection
spectral caractérise le clustering dans l’espace d’origine et étudier le rôle du paramètre du
noyau Gaussien dans le partitionnement.
Enfin, dans le cadre de la biologie et de la segmentation d’images, nous avons affaire à un grand
flot de données. Le calcul de la matrice affinité sur l’ensemble des données puis de son spectre
devient alors très coûteux. Une parallélisation de cette méthode, notamment des travaux principalement
basés sur des techniques d’algèbre linéaire pour réduire le coût numérique, ont été développés
[44, 92, 38]. Cependant, les algorithmes développés ne s’affranchissent pas de la construction de la
matrice affinité complète. Cette étape reste très coûteuse en temps de calcul et en stockage mémoire.
De plus, déterminer le nombre de clusters reste un problème ouvert. Il reste donc à définir
une stratégie parallèle pour traiter un grand nombre de données et automatiser le choix du nombre
de clusters et les paramètres inhérents au clustering spectral et à la stratégie parallèle.
Plan de la Thèse
Cette thèse se découpe autour de quatre chapitres suivant les points d’étude précédemment
évoqués. Nous testerons la méthode sur des exemples géométriques en 2D et 3D (ou challenges
de clustering) et sur des cas de segmentation d’images sur les quatre premiers chapitres. En effet,
l’aspect visuel pourra nous aider à juger de la performance de la méthode avant de l’appliquer sur
des cas réels de biologie ou d’imagerie médicale dans le quatrième chapitre.