Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
Résumé : La classification spectrale consiste à créer, à partir des éléments spectraux d'une matrice
d'affinité gaussienne, un espace de dimension réduite dans lequel les données sont regroupées en
classes. Cette méthode non supervisée est principalement basée sur la mesure d'affinité gaussienne,
son paramètre et ses éléments spectraux. Cependant, les questions sur la séparabilité des classes
dans l'espace de projection spectral et sur le choix du paramètre restent ouvertes. Dans un premier
temps, le rôle du paramètre de l'affinité gaussienne sera étudié à travers des mesures de qualités et
deux heuristiques pour le choix de ce paramètre seront proposées puis testées. Ensuite, le
fonctionnement même de la méthode est étudié à travers les éléments spectraux de la matrice
d'affinité gaussienne. En interprétant cette matrice comme la discrétisation du noyau de la chaleur
définie sur l'espace entier et en utilisant les éléments finis, les vecteurs propres de la matrice affinité
sont la représentation asymptotique de fonctions dont le support est inclus dans une seule
composante connexe. Ces résultats permettent de définir des propriétés de classification et des
conditions sur le paramètre gaussien. A partir de ces éléments théoriques, deux stratégies de
parallélisation par décomposition en sous-domaines sont formulées et testées sur des exemples
géométriques et de traitement d'images. Enfin dans le cadre non supervisé, le classification spectrale
est appliquée, d'une part, dans le domaine de la génomique pour déterminer différents profils
d'expression de gènes d'une légumineuse et, d'autre part dans le domaine de l'imagerie fonctionnelle
TEP, pour segmenter des régions du cerveau présentant les mêmes courbes d'activités temporelles.
Mots-clés : classification non supervisée, classification spectrale, noyau gaussien, équation de la
chaleur, éléments finis, parallélisation, imagerie médicale.
Contributions to the study of spectral clustering and applications
Abstract : The Spectral Clustering consists in creating, from the spectral elements of a Gaussian
affinity matrix, a low-dimension space in which data are grouped into clusters. This unsupervised
method is mainly based on Gaussian affinity measure, its parameter and its spectral elements.
However, questions about the separability of clusters in the projection space and the spectral
parameter choices remain open. First, the rule of the parameter of Gaussian affinity will be
investigated through quality measures and two heuristics for choosing this setting will be proposed
and tested. Then, the method is studied through the spectral element of the Gaussian affinity matrix.
By interpreting this matrix as the discretization of the heat kernel defined on the whole space and
using finite elements, the eigenvectors of the affinity matrix are asymptotic representation of
functions whose support is included in one connected component. These results help define the
properties of clustering and conditions on the Gaussian parameter. From these theoretical elements,
two parallelization strategies by decomposition into sub-domains are formulated and tested on
geometrical examples and images. Finally, as unsupervised applications, the spectral clustering is
applied, first in the field of genomics to identify different gene expression profiles of a legume and
the other in the imaging field functional PET, to segment the brain regions with similar time-activity
curves.
Key-words : clustering, spectral clustering, Gaussian kernel, heat equation, finite elements,
parallelization, medical imaging.