Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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<strong>Contributions</strong> <strong>à</strong> <strong>l'étu<strong>de</strong></strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> <strong>et</strong> <strong>applications</strong><br />
Résumé : La c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> consiste <strong>à</strong> créer, <strong>à</strong> partir <strong>de</strong>s éléments spectraux d'une matrice<br />
d'affinité gaussienne, un espace <strong>de</strong> dimension réduite dans lequel les données sont regroupées en<br />
c<strong>la</strong>sses. C<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong> non supervisée est principalement basée sur <strong>la</strong> mesure d'affinité gaussienne,<br />
son paramètre <strong>et</strong> ses éléments spectraux. Cependant, les questions sur <strong>la</strong> séparabilité <strong>de</strong>s c<strong>la</strong>sses<br />
dans l'espace <strong>de</strong> projection spectral <strong>et</strong> sur le choix du paramètre restent ouvertes. Dans un premier<br />
temps, le rôle du paramètre <strong>de</strong> l'affinité gaussienne sera étudié <strong>à</strong> travers <strong>de</strong>s mesures <strong>de</strong> qualités <strong>et</strong><br />
<strong>de</strong>ux heuristiques pour le choix <strong>de</strong> ce paramètre seront proposées puis testées. Ensuite, le<br />
fonctionnement même <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> est étudié <strong>à</strong> travers les éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice<br />
d'affinité gaussienne. En interprétant c<strong>et</strong>te matrice comme <strong>la</strong> discrétisation du noyau <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur<br />
définie sur l'espace entier <strong>et</strong> en utilisant les éléments finis, les vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité<br />
sont <strong>la</strong> représentation asymptotique <strong>de</strong> fonctions dont le support est inclus dans une seule<br />
composante connexe. Ces résultats perm<strong>et</strong>tent <strong>de</strong> définir <strong>de</strong>s propriétés <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> <strong>de</strong>s<br />
conditions sur le paramètre gaussien. A partir <strong>de</strong> ces éléments théoriques, <strong>de</strong>ux stratégies <strong>de</strong><br />
parallélisation par décomposition en sous-domaines sont formulées <strong>et</strong> testées sur <strong>de</strong>s exemples<br />
géométriques <strong>et</strong> <strong>de</strong> traitement d'images. Enfin dans le cadre non supervisé, le c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong><br />
est appliquée, d'une part, dans le domaine <strong>de</strong> <strong>la</strong> génomique pour déterminer différents profils<br />
d'expression <strong>de</strong> gènes d'une légumineuse <strong>et</strong>, d'autre part dans le domaine <strong>de</strong> l'imagerie fonctionnelle<br />
TEP, pour segmenter <strong>de</strong>s régions du cerveau présentant les mêmes courbes d'activités temporelles.<br />
Mots-clés : c<strong>la</strong>ssification non supervisée, c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong>, noyau gaussien, équation <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
chaleur, éléments finis, parallélisation, imagerie médicale.<br />
<strong>Contributions</strong> to the study of spectral clustering and <strong>applications</strong><br />
Abstract : The Spectral Clustering consists in creating, from the spectral elements of a Gaussian<br />
affinity matrix, a low-dimension space in which data are grouped into clusters. This unsupervised<br />
m<strong>et</strong>hod is mainly based on Gaussian affinity measure, its param<strong>et</strong>er and its spectral elements.<br />
However, questions about the separability of clusters in the projection space and the spectral<br />
param<strong>et</strong>er choices remain open. First, the rule of the param<strong>et</strong>er of Gaussian affinity will be<br />
investigated through quality measures and two heuristics for choosing this s<strong>et</strong>ting will be proposed<br />
and tested. Then, the m<strong>et</strong>hod is studied through the spectral element of the Gaussian affinity matrix.<br />
By interpr<strong>et</strong>ing this matrix as the discr<strong>et</strong>ization of the heat kernel <strong>de</strong>fined on the whole space and<br />
using finite elements, the eigenvectors of the affinity matrix are asymptotic representation of<br />
functions whose support is inclu<strong>de</strong>d in one connected component. These results help <strong>de</strong>fine the<br />
properties of clustering and conditions on the Gaussian param<strong>et</strong>er. From these theor<strong>et</strong>ical elements,<br />
two parallelization strategies by <strong>de</strong>composition into sub-domains are formu<strong>la</strong>ted and tested on<br />
geom<strong>et</strong>rical examples and images. Finally, as unsupervised <strong>applications</strong>, the spectral clustering is<br />
applied, first in the field of genomics to i<strong>de</strong>ntify different gene expression profiles of a legume and<br />
the other in the imaging field functional PET, to segment the brain regions with simi<strong>la</strong>r time-activity<br />
curves.<br />
Key-words : clustering, spectral clustering, Gaussian kernel, heat equation, finite elements,<br />
parallelization, medical imaging.