Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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4.9.4 Comparaison avec <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> k-means 157<br />
schémas parallèles <strong>et</strong> <strong>de</strong> nouveaux domaines d’<strong>applications</strong> relevant proprement <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification<br />
non supervisée. La complexité <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te discipline étant justement dans le caractère "aveugle" <strong>de</strong>s<br />
métho<strong>de</strong>s <strong>à</strong> développer/utiliser, ce<strong>la</strong> ouvre donc plusieurs perspectives <strong>à</strong> ce travail.<br />
Tout d’abord, d’un point <strong>de</strong> vue théorique, nous avons pu montrer que l’algorithme du spectral<br />
clustering sans l’étape <strong>de</strong> normalisation revenait <strong>à</strong> rechercher, au sein <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité, <strong>de</strong>s<br />
vecteurs propres "proches" (en un sens que nous avons quantifié en fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> distribution <strong>de</strong>s<br />
données <strong>et</strong> du choix du paramètre gaussien) d’une discrétisation conforme <strong>de</strong> fonctions propres d’un<br />
problème <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur avec conditions <strong>de</strong> Dirichl<strong>et</strong> au bord. Ces <strong>de</strong>rnières furent reliées <strong>à</strong> <strong>de</strong>s propriétés<br />
dites "<strong>de</strong> clustering", c’est-<strong>à</strong>-dire perm<strong>et</strong>tant <strong>de</strong> déterminer l’appartenance <strong>à</strong> une composante<br />
connexe <strong>de</strong> tout point donné. Toutefois, le résultat nécessite une famille <strong>de</strong> vecteurs propres afin<br />
<strong>de</strong> pouvoir c<strong>la</strong>sser, sans détermination possible, tous les points d’un ensemble donné. De plus, c<strong>et</strong>te<br />
famille n’est a priori ni finie ni limitée aux premiers vecteurs propres (ceux associés aux plus gran<strong>de</strong>s<br />
valeurs propres). Les exemples numériques ont néanmoins montré que, dans le cas <strong>de</strong> l’algorithme<br />
<strong>de</strong> spectral clustering avec étape <strong>de</strong> normalisation, il était possible <strong>de</strong> se limiter aux k plus grands<br />
vecteurs propres pour avoir un critère déterminant exactement les clusters <strong>de</strong> l’ensemble <strong>à</strong> traiter.<br />
L’étape <strong>de</strong> normalisation semble donc déterminante pour simplifier <strong>la</strong> recherche <strong>de</strong>s "bons" éléments<br />
spectraux <strong>à</strong> utiliser. Comme évoqué dans le chapitre 2, il semblerait qu’elle perm<strong>et</strong>te d’apparenter <strong>la</strong><br />
métho<strong>de</strong> <strong>à</strong> <strong>la</strong> recherche <strong>de</strong> fonctions propres du problème <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur avec conditions <strong>de</strong> Neumann.<br />
Ceci serait alors en accord avec le caractère constant par morceaux observé sur les vecteurs propres<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité normalisée. Une première perspective serait donc <strong>de</strong> démontrer effectivement<br />
s’il s’agit bien d’une approximation <strong>de</strong>s solutions propres du problème avec conditions <strong>de</strong> Neumann<br />
<strong>et</strong> surtout <strong>de</strong> quantifier l’ordre d’erreur induit par les approximations successives afin, le cas échéant,<br />
<strong>de</strong> re-qualifier l’heuristique proposée sur le paramètre affinité gaussien.<br />
Par ailleurs, dans le cadre du traitement d’images, <strong>de</strong>s boîtes affinités 3D pour les niveaux <strong>de</strong> gris<br />
ou 5D pour les couleurs ont été définies pour allier les informations géométrique <strong>et</strong> <strong>de</strong> couleur d’une<br />
image. Ce concept utilise une normalisation <strong>de</strong>s données afin d’équilibrer le poids <strong>de</strong>s informations<br />
<strong>de</strong> natures différentes. Une étu<strong>de</strong> sur l’influence <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te pondération sur les résultats théoriques<br />
pourrait être menée.<br />
Enfin c<strong>et</strong>te étu<strong>de</strong> théorique ouvre <strong>la</strong> voie <strong>à</strong> l’étu<strong>de</strong> d’autres métho<strong>de</strong>s <strong>à</strong> noyaux, <strong>à</strong> <strong>de</strong>s métho<strong>de</strong>s<br />
basées sur les noyaux <strong>de</strong> Mercer notamment, le k-means <strong>à</strong> noyaux <strong>et</strong> les estimateurs <strong>à</strong> noyaux.<br />
Du point <strong>de</strong> vue <strong>de</strong> <strong>la</strong> mise en oeuvre <strong>et</strong> <strong>de</strong>s performances <strong>de</strong>s stratégies <strong>de</strong> parallélisation<br />
proposées, plusieurs points pourraient être étudiés.<br />
En premier lieu, grâce <strong>à</strong> un bon choix <strong>de</strong> paramètre, <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> du spectral clustering présente<br />
les meilleurs résultats sur nos exemples. Cependant d’autres étapes <strong>de</strong> l’algorithme peuvent<br />
être améliorées. En eff<strong>et</strong>, le travail <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te thèse se concentrait sur l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice d’affinité<br />
gaussienne, <strong>de</strong> son paramètre <strong>et</strong> <strong>de</strong> ses éléments spectraux afin d’expliquer <strong>la</strong> séparation <strong>de</strong>s<br />
données dans l’espace <strong>de</strong> projection <strong>spectrale</strong> <strong>et</strong> conditionner c<strong>et</strong>te séparation. L’étape <strong>de</strong> k-means<br />
qui constitue l’étape <strong>de</strong> clustering dans l’espace <strong>de</strong> projection <strong>spectrale</strong> n’a pas été <strong>à</strong> proprement<br />
étudiée. En eff<strong>et</strong>, le choix <strong>de</strong> <strong>la</strong> métrique, l’initialisation <strong>de</strong>s centres <strong>et</strong> <strong>de</strong>s estimateurs <strong>de</strong> <strong>la</strong> qualité<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> partition peuvent être adaptés aux données <strong>de</strong> l’hypersphère unité <strong>de</strong> dimension k. Des gains<br />
importants, notamment en temps <strong>de</strong> calculs, pourraient être attendus d’une amélioration <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te<br />
étape.<br />
Dans un second temps, d’un point <strong>de</strong> vue numérique, <strong>de</strong> nombreuses améliorations peuvent être<br />
apportées <strong>à</strong> <strong>la</strong> stratégie parallèle du spectral clustering. Afin d’optimiser les performances <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
parallélisation, une étu<strong>de</strong> sur <strong>la</strong> découpe <strong>de</strong>s données visant <strong>à</strong> équilibrer les données par processus<br />
serait nécessaire. De plus, <strong>de</strong>s techniques pour creuser <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne via <strong>de</strong>s tech-