Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

4.9.4 Comparaison avec la méthode k-means 157
schémas parallèles et de nouveaux domaines d’applications relevant proprement de la classification
non supervisée. La complexité de cette discipline étant justement dans le caractère "aveugle" des
méthodes à développer/utiliser, cela ouvre donc plusieurs perspectives à ce travail.
Tout d’abord, d’un point de vue théorique, nous avons pu montrer que l’algorithme du spectral
clustering sans l’étape de normalisation revenait à rechercher, au sein de la matrice affinité, des
vecteurs propres "proches" (en un sens que nous avons quantifié en fonction de la distribution des
données et du choix du paramètre gaussien) d’une discrétisation conforme de fonctions propres d’un
problème de la chaleur avec conditions de Dirichlet au bord. Ces dernières furent reliées à des propriétés
dites "de clustering", c’est-à-dire permettant de déterminer l’appartenance à une composante
connexe de tout point donné. Toutefois, le résultat nécessite une famille de vecteurs propres afin
de pouvoir classer, sans détermination possible, tous les points d’un ensemble donné. De plus, cette
famille n’est a priori ni finie ni limitée aux premiers vecteurs propres (ceux associés aux plus grandes
valeurs propres). Les exemples numériques ont néanmoins montré que, dans le cas de l’algorithme
de spectral clustering avec étape de normalisation, il était possible de se limiter aux k plus grands
vecteurs propres pour avoir un critère déterminant exactement les clusters de l’ensemble à traiter.
L’étape de normalisation semble donc déterminante pour simplifier la recherche des "bons" éléments
spectraux à utiliser. Comme évoqué dans le chapitre 2, il semblerait qu’elle permette d’apparenter la
méthode à la recherche de fonctions propres du problème de la chaleur avec conditions de Neumann.
Ceci serait alors en accord avec le caractère constant par morceaux observé sur les vecteurs propres
de la matrice affinité normalisée. Une première perspective serait donc de démontrer effectivement
s’il s’agit bien d’une approximation des solutions propres du problème avec conditions de Neumann
et surtout de quantifier l’ordre d’erreur induit par les approximations successives afin, le cas échéant,
de re-qualifier l’heuristique proposée sur le paramètre affinité gaussien.
Par ailleurs, dans le cadre du traitement d’images, des boîtes affinités 3D pour les niveaux de gris
ou 5D pour les couleurs ont été définies pour allier les informations géométrique et de couleur d’une
image. Ce concept utilise une normalisation des données afin d’équilibrer le poids des informations
de natures différentes. Une étude sur l’influence de cette pondération sur les résultats théoriques
pourrait être menée.
Enfin cette étude théorique ouvre la voie à l’étude d’autres méthodes à noyaux, à des méthodes
basées sur les noyaux de Mercer notamment, le k-means à noyaux et les estimateurs à noyaux.
Du point de vue de la mise en oeuvre et des performances des stratégies de parallélisation
proposées, plusieurs points pourraient être étudiés.
En premier lieu, grâce à un bon choix de paramètre, la méthode du spectral clustering présente
les meilleurs résultats sur nos exemples. Cependant d’autres étapes de l’algorithme peuvent
être améliorées. En effet, le travail de cette thèse se concentrait sur l’étude de la matrice d’affinité
gaussienne, de son paramètre et de ses éléments spectraux afin d’expliquer la séparation des
données dans l’espace de projection spectrale et conditionner cette séparation. L’étape de k-means
qui constitue l’étape de clustering dans l’espace de projection spectrale n’a pas été à proprement
étudiée. En effet, le choix de la métrique, l’initialisation des centres et des estimateurs de la qualité
de la partition peuvent être adaptés aux données de l’hypersphère unité de dimension k. Des gains
importants, notamment en temps de calculs, pourraient être attendus d’une amélioration de cette
étape.
Dans un second temps, d’un point de vue numérique, de nombreuses améliorations peuvent être
apportées à la stratégie parallèle du spectral clustering. Afin d’optimiser les performances de la
parallélisation, une étude sur la découpe des données visant à équilibrer les données par processus
serait nécessaire. De plus, des techniques pour creuser la matrice affinité gaussienne via des tech-