Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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110 Parallélisation <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong><br />
géométriques par rapport <strong>à</strong> <strong>la</strong> luminance. Un procédé c<strong>la</strong>ssique consiste <strong>à</strong> normaliser les coordonnées<br />
géométriques sur chaque dimension : les pixels (i, j) <strong>et</strong> (i + 1, j) sont séparés <strong>de</strong> 1 <strong>et</strong> les pixels (i,j)<br />
p1<br />
<strong>et</strong> (i,j+1) séparés <strong>de</strong> 1<br />
p2 .<br />
Remarque 3.16. Dans <strong>la</strong> théorie développée au chapitre 2, c<strong>et</strong>te normalisation <strong>de</strong>s données revient<br />
<strong>à</strong> considérer une fonction composée du noyau <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur <strong>et</strong> d’une autre fonction <strong>de</strong> normalisation.<br />
Le produit <strong>de</strong> convolution avec un produit <strong>de</strong> fonctions composées revient <strong>à</strong> considérer un produit<br />
tensoriel <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur appliqué <strong>à</strong> une fonction propre <strong>et</strong> d’une fonction <strong>à</strong> définir. La<br />
propriété <strong>de</strong> clustering sur les fonctions propres <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur est conservée mais est<br />
pondérée par une fonction. C<strong>et</strong>te normalisation <strong>de</strong>s données ouvre une nouvelle étu<strong>de</strong> <strong>à</strong> réaliser sur<br />
les résultats théoriques précé<strong>de</strong>nts <strong>et</strong> l’influence sur le paramètre.<br />
On considère l’image entière (non seuillée) du bouqu<strong>et</strong> <strong>de</strong> fleurs donc les exemples <strong>de</strong> segmentation<br />
d’images du chapitre 1 sont extraits. Pour ce genre d’exemple, étant donnée l’uniformité <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
distribution <strong>de</strong>s données comme le montre <strong>la</strong> figure 3.19, on peut se perm<strong>et</strong>tre <strong>de</strong> définir une zone<br />
<strong>de</strong> recouvrement re<strong>la</strong>tivement faible. Il s’agit d’une image <strong>de</strong> 186 × 230 pixels, <strong>à</strong> savoir N = 42780<br />
points. Le clustering spectral parallèle avec recouvrement est appliqué sur q = 20 processeurs.<br />
Notons qu’avec q < 20, c<strong>et</strong> exemple ne fonctionne pas en raison d’un manque <strong>de</strong> mémoire virtuelle.<br />
Figure 3.18 – Exemple <strong>de</strong> segmentation d’image testée sur Hyperion<br />
Sur <strong>la</strong> figure 3.18, les données initiales sont représentées sur <strong>la</strong> gauche <strong>et</strong> le clustering final sur<br />
<strong>la</strong> droite. Pour comparer <strong>la</strong> partition issue du spectral clustering parallèle, <strong>à</strong> partir du cardinal <strong>de</strong><br />
chaque cluster <strong>et</strong> <strong>de</strong> l’assignation <strong>de</strong>s points, tous les points associés au même cluster se voient<br />
affectés un niveau <strong>de</strong> gris égal <strong>à</strong> <strong>la</strong> moyenne <strong>de</strong>s niveaux <strong>de</strong> gris <strong>de</strong>s pixels correspondant <strong>à</strong> l’image<br />
originale pour chacun <strong>de</strong> ces points. Ce procédé perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> comparer visuellement les clusters trouvés<br />
en fonction <strong>de</strong> l’image originale. En eff<strong>et</strong>, si les points assignés au même cluster correspon<strong>de</strong>nt<br />
<strong>à</strong> différentes couleurs <strong>et</strong> différentes formes alors ce cluster aura une couleur <strong>et</strong> une forme différentes<br />
<strong>de</strong> l’image originale. L’algorithme <strong>de</strong> spectral clustering pour c<strong>et</strong>te image <strong>de</strong> bouqu<strong>et</strong> <strong>de</strong> fleurs a<br />
déterminé 111 clusters. Comparées <strong>à</strong> l’image originale, les formes <strong>de</strong>s fleurs sont bien décrites <strong>et</strong> les<br />
détails du lys central sont distingués. Le temps total est <strong>de</strong> 398.78 secon<strong>de</strong>s pour N = 42780 points,<br />
ce qui confirme <strong>la</strong> performance <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te stratégie parallèle avec recouvrement. Etant données les<br />
dimensions <strong>et</strong> <strong>la</strong> complexité <strong>de</strong> l’image, l’impact <strong>de</strong> <strong>la</strong> normalisation <strong>de</strong>s coordonnées géométriques<br />
ne pénalise pas le caractère <strong>de</strong> compression <strong>de</strong> données que l’on peut déduire du résultat du spectral<br />
clustering. En eff<strong>et</strong>, considérer un caractère géométrique aux données implique <strong>la</strong> définition <strong>de</strong><br />
nombreux clusters aux mêmes niveaux <strong>de</strong> gris mais situés géométriquement <strong>à</strong> <strong>de</strong>s endroits différents