Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

More documents

Recommendations

Info

104 Parallélisation de la classification spectrale théorème 3.3 de sorte à définir le clustering sur les points S au sens du théorème 3.5. La difficulté est encore pour pouvoir appliquer le théorème 3.5 de satisfaire l’hypothèse que si ωk i ∩ ωl j = ∅ pour i ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ Sk i ∩ Sl j . Toutefois, le clustering est réalisé sur les points de manière à satisfaire de S et donc il existe une infinité de façon de définir des pavés fermés C ′ k ˆSk = S∩Ck = S∩C ′ k . L’objectif de cette partie est de définir un ensemble de pavés C′ k "convenables" pour k ∈ [|1, q|]. Soient C1, .., Cq les q sous-domaines qui permettent le partitionnement géométrique de l’ensemble des données S et γ représente l’épaisseur du recouvrement pour chaque pavé Cj. On rappelle que ωk i pour k ∈ [|1, q|] k=1..ni sont les clusters issus du pavé Ci. Soient maintenant les ensembles C ′ k construits de la manière suivante : on commence avec C ′ i = Ci pour i ∈ [|1, q|] puis on applique la règle suivante représentée sur la figure3.6 (b), – si ωk i ∩ ωl j = ∅ et ωk i ∩ ωl j ∩ S = ∅ pour i = j alors on pose C′ i := C′ i \Γɛi où Γɛi = ωk i ∩ {x ∈ Ω, d(x, ∂ωl j ) < ɛ} pour ɛ > 0 et tel que ɛ < dc et Γɛ i ∩ S = ∅. De même, on pose C′ j := C′ j \Γɛj pour un ɛ vérifiant les même hypothèses que précédemment. Lemme 3.13. Les C ′ k pour k ∈ [|1, q|] vérifient les propriétés suivantes : 1. C ′ k est fermé, 2. Ω ⊂ k∈[|1,q|] C′ k , 3. C ′ k ∩ S = ˆ Sk. Démonstration. Même démonstration que pour le lemme 3.9. On note par (ω ′ ) k i forment un k=1..ni les clusters issus du pavé C′ i . Par le lemme 3.13, les C′ k ensemble de pavés "convenables" et donc par le théorème 3.3, permettent de retrouver les ωk i obtient alors le résultat suivant. Théorème 3.14. Supposons que le clustering de S est idéal sur chaque Si, i ∈ [|1, q|] et que de plus, γ > dc. Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S = S k i ∈ ¯ SA Sk i . Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que S k i ∈ ¯ SA S k i = Ωi ∩ S. Démonstration. Il suffit de montrer que si (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j = ∅ pour i ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ Sk i ∩ Sl j , le résultat se déduira du théorème 3.5. Or par la définition des C′ k et le lemme 3.13, = ∅. on a (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j ∩ S = ∅ implique (ω′ ) k i ∩ (ω′ ) l j Donc si, sur chaque sous-domaine, le clustering est idéal alors l’étape de regroupement de la stratégie par interface permet de reconstituer les clusters Ωi ∩ S via la relation d’équivalence R S . Choix du paramètre γ Dans cette approche, l’ensemble des points permettant de lier les clusters à support sur plusieurs pavés est inclus dans l’ensemble des données de chaque sous-domaine. D’après le théorème 3.14, l’hypothèse γ > dc doit être satisfaite pour regrouper les clusters. Nous faisons l’hypothèse pour la définition des composantes connexes Ωk qu’aucune d’entre elles ne peut être subdivisée en deux ouverts recouvrant le même sous-ensemble de points de S et à distance supérieure à γ. La largeur de la bande de recouvrement est donc la même que celle de l’interface dans la stratégie de spectral clustering avec intersection c’est-à-dire égale à 3σ où σ représente la distance de séparation entre les points dans le cas d’une distribution uniforme c’est-à-dire lorsque les points sont tous équidistants les uns des autres. Un choix de γ = 3σ permet donc a priori de pallier les diverses configurations possibles de distributions des points par cluster. . On
3.3.3 Expérimentations numériques : exemples géométriques 105 3.3.3 Expérimentations numériques : exemples géométriques Les mêmes exemples que ceux de la section 3.2.3 sont testés avec cette nouvelle alternative et réalisés sur Hyperion. Les résultats du spectral clustering sur les 2 sous-domaines sur les exemples des 2 sphères tronquées sont respectivement représentés sur les figures 3.14 (a)-(b) et le résultat final sur les figures 3.14 (c). (a) Résultat sur le domaine 1 (b) Résultat sur le domaine 2 (c) Résultat final Figure 3.14 – Résultats du spectral clustering sur le cas des 2 sphères découpées en 2 clusters De la même manière, les résultats sont récapitulés, pour des découpes en q = {2, 4, 8} sousdomaines, sur les tableaux 3.3 à partir des mesures temporelles sur les étapes respectives du clustering spectral parallèle avec recouvrement. Les graphes de speed-up et d’efficacité sont respectivement représentés sur les figures 3.15 (a) et (b).
Page 1:
Institut National Polytechnique de
Page 4 and 5:
ii TABLE DES MATIÈRES 2.5.1 Expér
Page 7 and 8:
Table des figures 1.1 Illustration
Page 9:
TABLE DES FIGURES vii 4.8 Etude ave
Page 13 and 14:
Remerciements Je tiens tout d’abo
Page 15 and 16:
Introduction Les domaines des biolo
Page 17 and 18:
adéquates dans un cadre non superv
Page 19 and 20:
Chapitre 1 : Classification spectra
Page 21 and 22:
Chapitre 1 Classification spectrale
Page 23 and 24:
1.1.1 Algorithme de classification
Page 25 and 26:
1.1.2 Problème du choix du paramè
Page 27 and 28:
1.1.2 Problème du choix du paramè
Page 29 and 30:
1.2.2 Cas d’une distribution isot
Page 31 and 32:
1.3 Validations numériques 19 1.3
Page 33 and 34:
1.3.1 Mesures de qualité 21 (a) Sm
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
1.4 Méthodes de classification spe
Page 41 and 42:
1.4.2 Traitement d’images 29 une
Page 43 and 44:
1.4.2 Traitement d’images 31 (a)
Page 45 and 46:
Chapitre 2 Classification et élém
Page 47 and 48:
2.2 Présentation du résultat prin
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
2.3 Propriétés de classification
Page 55 and 56:
2.3.2 Classification via l’opéra
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66: 2.4.1 Eléments finis de Lagrange 5
Page 67 and 68: 2.4.2 Interprétation des élément
Page 69 and 70: 2.4.3 Propriété de classification
Page 71 and 72: 2.4.3 Propriété de classification
Page 73 and 74: 2.4.4 Condensation de masse 61 Le t
Page 75 and 76: 2.4.4 Condensation de masse 63 Eval
Page 77 and 78: 2.4.4 Condensation de masse 65 (a)
Page 79 and 80: 2.5.1 Expérimentations numériques
Page 81 and 82: 2.5.2 Choix du paramètre gaussien
Page 87 and 88: 2.5.3 Passage du discret au continu
Page 89 and 90: 2.5.4 Etape de normalisation 77 d
Page 91 and 92: 2.5.5 Cas limites de validité de l
Page 93: 2.5.5 Cas limites de validité de l
Page 96 and 97: 84 Parallélisation de la classific
Page 112 and 113: 100 Parallélisation de la classifi
Page 132 and 133: 120 Extraction de connaissances app
Page 167 and 168:
Conclusion et perspectives Dans ce
Page 169 and 170:
4.9.4 Comparaison avec la méthode
Page 171 and 172:
Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
Page 173 and 174:
BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
Page 175 and 176:
BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
Page 177:
BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
show all

Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?