Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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104 Parallélisation <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong><br />
théorème 3.3 <strong>de</strong> sorte <strong>à</strong> définir le clustering sur les points S au sens du théorème 3.5. La difficulté<br />
est encore pour pouvoir appliquer le théorème 3.5 <strong>de</strong> satisfaire l’hypothèse que si ωk i ∩ ωl j = ∅ pour<br />
i ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ Sk i ∩ Sl j . Toutefois, le clustering est réalisé sur les points<br />
<strong>de</strong> manière <strong>à</strong> satisfaire<br />
<strong>de</strong> S <strong>et</strong> donc il existe une infinité <strong>de</strong> façon <strong>de</strong> définir <strong>de</strong>s pavés fermés C ′ k<br />
ˆSk = S∩Ck = S∩C ′ k . L’objectif <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te partie est <strong>de</strong> définir un ensemble <strong>de</strong> pavés C′ k "convenables"<br />
pour k ∈ [|1, q|].<br />
Soient C1, .., Cq les q sous-domaines qui perm<strong>et</strong>tent le partitionnement géométrique <strong>de</strong> l’ensemble<br />
<strong>de</strong>s<br />
<br />
données S <strong>et</strong> γ représente l’épaisseur du recouvrement pour chaque pavé Cj. On rappelle que<br />
ωk i<br />
pour k ∈ [|1, q|]<br />
k=1..ni sont les clusters issus du pavé Ci. Soient maintenant les ensembles C ′ k<br />
construits <strong>de</strong> <strong>la</strong> manière suivante : on commence avec C ′ i = Ci pour i ∈ [|1, q|] puis on applique <strong>la</strong><br />
règle suivante représentée sur <strong>la</strong> figure3.6 (b),<br />
– si ωk i ∩ ωl j = ∅ <strong>et</strong> ωk i ∩ ωl j ∩ S = ∅ pour i = j alors on pose C′ i := C′ i \Γɛi où Γɛi = ωk i ∩ {x ∈<br />
Ω, d(x, ∂ωl j ) < ɛ} pour ɛ > 0 <strong>et</strong> tel que ɛ < dc <strong>et</strong> Γɛ i ∩ S = ∅. De même, on pose C′ j := C′ j \Γɛj pour un ɛ vérifiant les même hypothèses que précé<strong>de</strong>mment.<br />
Lemme 3.13. Les C ′ k pour k ∈ [|1, q|] vérifient les propriétés suivantes :<br />
1. C ′ k est fermé,<br />
2. Ω ⊂ <br />
k∈[|1,q|] C′ k ,<br />
3. C ′ k ∩ S = ˆ Sk.<br />
Démonstration. Même démonstration que pour le lemme 3.9.<br />
On note par (ω ′ ) k <br />
i<br />
forment un<br />
k=1..ni les clusters issus du pavé C′ i . Par le lemme 3.13, les C′ k<br />
ensemble <strong>de</strong> pavés "convenables" <strong>et</strong> donc par le théorème 3.3, perm<strong>et</strong>tent <strong>de</strong> r<strong>et</strong>rouver les ωk i<br />
obtient alors le résultat suivant.<br />
Théorème 3.14. Supposons que le clustering <strong>de</strong> S est idéal sur chaque Si, i ∈ [|1, q|] <strong>et</strong> que <strong>de</strong><br />
plus, γ > dc. Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S = <br />
S k i ∈ ¯ SA Sk i .<br />
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que <br />
S k i ∈ ¯ SA<br />
S k i = Ωi ∩ S.<br />
Démonstration. Il suffit <strong>de</strong> montrer que si (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j = ∅ pour i ∈ [|1, q|] alors il existe un point<br />
x ∈ Sk i ∩ Sl j , le résultat se déduira du théorème 3.5. Or par <strong>la</strong> définition <strong>de</strong>s C′ k <strong>et</strong> le lemme 3.13,<br />
= ∅.<br />
on a (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j ∩ S = ∅ implique (ω′ ) k i ∩ (ω′ ) l j<br />
Donc si, sur chaque sous-domaine, le clustering est idéal alors l’étape <strong>de</strong> regroupement <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
stratégie par interface perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> reconstituer les clusters Ωi ∩ S via <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion d’équivalence R S .<br />
Choix du paramètre γ<br />
Dans c<strong>et</strong>te approche, l’ensemble <strong>de</strong>s points perm<strong>et</strong>tant <strong>de</strong> lier les clusters <strong>à</strong> support sur plusieurs<br />
pavés est inclus dans l’ensemble <strong>de</strong>s données <strong>de</strong> chaque sous-domaine. D’après le théorème 3.14,<br />
l’hypothèse γ > dc doit être satisfaite pour regrouper les clusters. Nous faisons l’hypothèse pour<br />
<strong>la</strong> définition <strong>de</strong>s composantes connexes Ωk qu’aucune d’entre elles ne peut être subdivisée en <strong>de</strong>ux<br />
ouverts recouvrant le même sous-ensemble <strong>de</strong> points <strong>de</strong> S <strong>et</strong> <strong>à</strong> distance supérieure <strong>à</strong> γ. La <strong>la</strong>rgeur<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> ban<strong>de</strong> <strong>de</strong> recouvrement est donc <strong>la</strong> même que celle <strong>de</strong> l’interface dans <strong>la</strong> stratégie <strong>de</strong> spectral<br />
clustering avec intersection c’est-<strong>à</strong>-dire égale <strong>à</strong> 3σ où σ représente <strong>la</strong> distance <strong>de</strong> séparation entre les<br />
points dans le cas d’une distribution uniforme c’est-<strong>à</strong>-dire lorsque les points sont tous équidistants<br />
les uns <strong>de</strong>s autres. Un choix <strong>de</strong> γ = 3σ perm<strong>et</strong> donc a priori <strong>de</strong> pallier les diverses configurations<br />
possibles <strong>de</strong> distributions <strong>de</strong>s points par cluster.<br />
. On