Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

104 Parallélisation de la classification spectrale
théorème 3.3 de sorte à définir le clustering sur les points S au sens du théorème 3.5. La difficulté
est encore pour pouvoir appliquer le théorème 3.5 de satisfaire l’hypothèse que si ωk i ∩ ωl j = ∅ pour
i ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ Sk i ∩ Sl j . Toutefois, le clustering est réalisé sur les points
de manière à satisfaire
de S et donc il existe une infinité de façon de définir des pavés fermés C ′ k
ˆSk = S∩Ck = S∩C ′ k . L’objectif de cette partie est de définir un ensemble de pavés C′ k "convenables"
pour k ∈ [|1, q|].
Soient C1, .., Cq les q sous-domaines qui permettent le partitionnement géométrique de l’ensemble
des
données S et γ représente l’épaisseur du recouvrement pour chaque pavé Cj. On rappelle que
ωk i
pour k ∈ [|1, q|]
k=1..ni sont les clusters issus du pavé Ci. Soient maintenant les ensembles C ′ k
construits de la manière suivante : on commence avec C ′ i = Ci pour i ∈ [|1, q|] puis on applique la
règle suivante représentée sur la figure3.6 (b),
– si ωk i ∩ ωl j = ∅ et ωk i ∩ ωl j ∩ S = ∅ pour i = j alors on pose C′ i := C′ i \Γɛi où Γɛi = ωk i ∩ {x ∈
Ω, d(x, ∂ωl j ) < ɛ} pour ɛ > 0 et tel que ɛ < dc et Γɛ i ∩ S = ∅. De même, on pose C′ j := C′ j \Γɛj pour un ɛ vérifiant les même hypothèses que précédemment.
Lemme 3.13. Les C ′ k pour k ∈ [|1, q|] vérifient les propriétés suivantes :
1. C ′ k est fermé,
2. Ω ⊂
k∈[|1,q|] C′ k ,
3. C ′ k ∩ S = ˆ Sk.
Démonstration. Même démonstration que pour le lemme 3.9.
On note par (ω ′ ) k
i
forment un
k=1..ni les clusters issus du pavé C′ i . Par le lemme 3.13, les C′ k
ensemble de pavés "convenables" et donc par le théorème 3.3, permettent de retrouver les ωk i
obtient alors le résultat suivant.
Théorème 3.14. Supposons que le clustering de S est idéal sur chaque Si, i ∈ [|1, q|] et que de
plus, γ > dc. Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S =
S k i ∈ ¯ SA Sk i .
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que
S k i ∈ ¯ SA
S k i = Ωi ∩ S.
Démonstration. Il suffit de montrer que si (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j = ∅ pour i ∈ [|1, q|] alors il existe un point
x ∈ Sk i ∩ Sl j , le résultat se déduira du théorème 3.5. Or par la définition des C′ k et le lemme 3.13,
= ∅.
on a (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j ∩ S = ∅ implique (ω′ ) k i ∩ (ω′ ) l j
Donc si, sur chaque sous-domaine, le clustering est idéal alors l’étape de regroupement de la
stratégie par interface permet de reconstituer les clusters Ωi ∩ S via la relation d’équivalence R S .
Choix du paramètre γ
Dans cette approche, l’ensemble des points permettant de lier les clusters à support sur plusieurs
pavés est inclus dans l’ensemble des données de chaque sous-domaine. D’après le théorème 3.14,
l’hypothèse γ > dc doit être satisfaite pour regrouper les clusters. Nous faisons l’hypothèse pour
la définition des composantes connexes Ωk qu’aucune d’entre elles ne peut être subdivisée en deux
ouverts recouvrant le même sous-ensemble de points de S et à distance supérieure à γ. La largeur
de la bande de recouvrement est donc la même que celle de l’interface dans la stratégie de spectral
clustering avec intersection c’est-à-dire égale à 3σ où σ représente la distance de séparation entre les
points dans le cas d’une distribution uniforme c’est-à-dire lorsque les points sont tous équidistants
les uns des autres. Un choix de γ = 3σ permet donc a priori de pallier les diverses configurations
possibles de distributions des points par cluster.
. On