Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.3 Classification spectrale parallèle avec recouvrement 101
S des données. Le calcul des paramètres σ, σ ∗ et l’étape de regroupement ne pénalisent pas
notre stratégie ; le temps consacré à ces parties est négligeable (inférieur à 2% du temps total).
Discussion
La boucle implémentée pour tester les différentes valeurs du nombre de clusters k dans l’algorithme
de clustering spectral jusqu’à satisfaire (3.3) devient de moins en moins coûteuse quand le
nombre de processus augmente. Passer en revue les valeurs de k revient à concaténer des vecteurs
propres, appliquer la méthode k-means, réordonnancer et calculer le ratio ηk. Le calcul des vecteurs
propres devient moins coûteux à mesure que l’on réduit la taille des matrices affinités. Aussi, diviser
l’ensemble des données S revient implicitement à réduire la matrice d’affinité gaussienne à des
sous-blocs diagonaux (après permutation).
Remarque 3.11. D’autres méthodes d’extraction de valeurs propres et de vecteurs propres associés
peuvent être utilisées pour réduire le coût numérique. En effet, une routine classique classique de
LAPACK [6] est utilisée pour assurer ce calcul. Les méthodes de Lanczos et d’Arnoldi présentées par
[92, 38] seraient certainement efficaces. Une autre technique peut être envisagée : celle de seuiller les
très faibles affinités (de l’ordre de la précision machine) pour creuser la matrice affinité et réduire
le nombre d’opérations.
Quand l’ensemble des données est divisé en un grand nombre de sous-domaines, l’interface
concentre le maximum des données par sous-domaines et devient le processus le plus coûteux.
Utiliser une interface qui connecte toutes les partitions locales peut présenter des limites : plus
le domaine est divisée en sous-domaines, plus le volume de l’interface, fonction du nombre de
découpages augmente et concentre de points. Il faut donc trouver un compromis entre le découpage
et la taille de l’interface. Pour limiter cet inconvénient, on définit un seuil, noté τ, représentant le
ratio entre le volume couvert par l’interface et le volume total balayé par les données de S. Ce seuil
sera donc fonction du nombre de découpes et des longueurs maximales sur chaque dimension :
τ =
V ol(interface)
V ol
où V ol(interface) est défini par (3.7) et V ol est le volume total couvert par l’ensemble des données.
V ol est fonction de li défini par (3.6) pour i = {1, .., p} : V ol = Π p
i=1 li.
Ce seuil permet de limiter les découpages et d’équilibrer le temps de calcul par processus.
3.3 Classification spectrale parallèle avec recouvrement
La stratégie obtenue en séparant l’ensemble des données permettant la connexion entre les
partitions issues des différents sous-domaines présente des limites quand le cardinal de l’ensemble
interface augmente. Dans la suite, nous proposons de distribuer cet ensemble de points dans les
sous-domaines associés. Après une présentation de la stratégie de parallélisation par recouvrement,
nous appliquerons les mêmes tests que pour la stratégie avec interface afin de comparer les deux
méthodes.
3.3.1 Principe
Afin de pallier l’inconvénient de considérer une interface comme un sous-domaine distinct, l’ensemble
des données de l’interface peut être inclus dans les autres sous-domaines. En fait, l’ensemble
des données est divisé en q boîtes qui ont une intersection non-vide entre elles. Ainsi, le nombre de
(3.9)