Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.2.3 Expérimentations parallèles 95
On note par (ω ′ ) k
i k=1..ni les clusters issus du pavé C′ i . Par le lemme 3.9, les C′ k
forment un
ensemble de pavés "convenables" et donc par le théorème 3.3, permettent de retrouver les ω k i .
Théorème 3.10. Supposons que la classification de S est idéale sur chaque Si, i ∈ [|1, q + 1|] et
que de plus, γ > dc. Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S =
S k i ∈ ¯ SA Sk i .
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que
Démonstration. Il suffit de montrer que (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j
S k i ∈ ¯ SA
S k i = Ωi ∩ S.
= ∅ pour i ∈ [|1, q|] alors il existe un point
et le lemme 3.9, on
x ∈ Sk i ∩ Sl j , le résultat se déduira du théorème 3.5. Or par la définition des C′ k
a (ω ′ ) k i ∩ (ω′ ) l j ∩ S = ∅ implique (ω′ ) k i ∩ (ω′ ) l j = ∅.
Donc, si sur chaque sous-domaine la classification est idéale, alors l’étape de regroupement de
la stratégie par interface permet de reconstituer les clusters Ωi ∩ S via la relation d’équivalence R S .
Choix du paramètre γ
Pour regrouper des clusters à support sur plusieurs pavés, il faut vérifier γ > dc d’après le
théorème 3.10 où dc représente le maximum de la distance minimale entre un point xj et son plus
proche voisin sur un sous-domaine différent mais au sein de la même composante connexe. Par
définition de l’ensemble des points correspondant à l’interface, la largeur de la bande γ est fixée
à 3σ où σ représente la distance de référence dans le cas d’une distribution uniforme c’est-à-dire
lorsque les points sont supposés tous équidistants les uns des autres. Nous faisons l’hypothèse pour
la définition des composantes connexes Ωk qu’aucune d’entre elles ne peut être subdivisée en deux
ouverts recouvrant le même sous-ensemble de points de S et à distance supérieure à γ. Avec cette
valeur γ = 3σ, des composantes connexes à support sur plusieurs sous-domaines ont nécessairement
des points dans la zone d’intersection. Par conséquent, pour une distribution donnée, trois différentes
configurations concernant la densité de clusters sont envisagées :
– si les clusters sont compacts alors la distance entre les points d’un même clusters est strictement
inférieure à la distance σ,
– si les clusters sont tous de faible densité alors la distance entre les points d’un même cluster
est de l’ordre de σ,
– si un cluster a une densité variable avec des zones plus denses que d’autres alors d’après
l’hypothèse la séparation entre les zones condensées et moins condensées est inférieure à la
séparation entre deux clusters et donc inférieure à 3σ.
Donc cette heuristique pour le choix γ = 3σ convient dans tous ces cas et satisfait l’inégalité γ > dc
du théorème 3.10.
3.2.3 Expérimentations parallèles
La méthode de spectral clustering parallèle doit être testée sur des exemples de grande taille
représentant des cas de clustering non triviaux. Pour cela, deux exemples géométriques 3D issus
d’un maillage de Delaunay où les données par processeurs sont respectivement équilibrées et non
équilibrés sont considérés. Ainsi, en raffinant le maillage, le comportement de la stratégie parallèle
sera étudié au fur et à mesure. Les expérimentations numériques sont réalisées sur le supercalculateur
Hyperion 1 du CICT (Centre Inter-universitaire de Calcul de Toulouse). Avec ses 352 noeuds
1. http ://www.calmip.cict.fr/spip/spip.php ?rubrique90