Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.2.2 Justification de la cohérence de la méthode 93
Figure 3.5 – Exemple cible : Résultat du spectral clustering pour l’interface et les sous-domaines
montrer qu’à partir d’un clustering idéal de l’ensemble des points ˆ Sk du sous-domaine k, l’étape
de regroupement permet reconstituer les ensembles Si = S ∩ Ωi. La difficulté est de montrer que
le clustering sur les pavés Ck, k ∈ [|1, q|] défini par la stratégie de découpe avec interface permet
de définir les classes ω k i
au sens de l’hypothèse du théorème 3.3 de sorte à obtenir le clustering sur
les points S au sens du théorème 3.5. La difficulté pour pouvoir appliquer le théorème 3.5 est de
satisfaire l’hypothèse que ω k i ∩ωl j = ∅ pour i ∈ [|1, q +1|] implique l’existence d’un point x ∈ Sk i ∩Sl j .
Toutefois, le clustering est réalisé sur les points de S et donc il existe une infinité de façons de définir
les pavés fermés C ′ k de manière à satisfaire ˆ Sk = S ∩ Ck = S ∩ C ′ k . L’objectif de cette partie est de
définir un tel ensemble de pavés C ′ k "convenables" pour k ∈ [|1, q + 1|].
Soient C1, .., Cq les q sous-domaines qui permettent le partitionnement géométrique de l’ensemble
des données S et soit Cq+1 le pavé de l’interface à distance γ pour chaque frontière ∂Cj des pavés Cj
soit : Cq+1 = {x ∈ Rp , ∃j ∈ [|1, q|], d(x, ∂Cj) < γ}. De plus, conformément à la stratégie présentée,
on suppose que les points appartenant à deux pavés Ci et Cj pour i = j sont sur la frontière de ∂Ci
et ∂Cj soit : Int(Ci) ∩ Int(Cj) = ∅, ∀i, j ∈ [|1, q|].
Définition 3.8. Soit dc le maximum de la distance minimale entre un point xj ∈ Cj et son plus
proche voisin xk dans un pavé Ck avec j = k sur une même composante connexe Ωi, soit encore :
dc = max dci
Ωi
avec dci = min
xj ∈ Ωi ∩ Cj ∩ S,
xk ∈ Ωi ∩ Ck ∩ S,
j = k
Par convention, la distance dci sur un ensemble vide sera égale à 0.
On rappelle que ωk
i
d(xj, xk). (3.8)
k=1..ni sont les clusters issus du pavé Ci. Soient maintenant les ensembles C ′ k
pour k ∈ [|1, q +1|] construits de la manière suivante : on commence avec C ′ i = Ci pour i ∈ [|1, q +1|]
puis on applique la règle suivante,
1. si ωk i ∩ ωl q+1 = ∅ et ωk i ∩ ωl q+1 ∩ S = ∅ pour i = q + 1 alors on pose C′ q+1 := C′ q+1 \ ωk i ∩ ωl
q+1 ;