Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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3.2.2 Justification <strong>de</strong> <strong>la</strong> cohérence <strong>de</strong> <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> 93<br />
Figure 3.5 – Exemple cible : Résultat du spectral clustering pour l’interface <strong>et</strong> les sous-domaines<br />
montrer qu’<strong>à</strong> partir d’un clustering idéal <strong>de</strong> l’ensemble <strong>de</strong>s points ˆ Sk du sous-domaine k, l’étape<br />
<strong>de</strong> regroupement perm<strong>et</strong> reconstituer les ensembles Si = S ∩ Ωi. La difficulté est <strong>de</strong> montrer que<br />
le clustering sur les pavés Ck, k ∈ [|1, q|] défini par <strong>la</strong> stratégie <strong>de</strong> découpe avec interface perm<strong>et</strong><br />
<strong>de</strong> définir les c<strong>la</strong>sses ω k i<br />
au sens <strong>de</strong> l’hypothèse du théorème 3.3 <strong>de</strong> sorte <strong>à</strong> obtenir le clustering sur<br />
les points S au sens du théorème 3.5. La difficulté pour pouvoir appliquer le théorème 3.5 est <strong>de</strong><br />
satisfaire l’hypothèse que ω k i ∩ωl j = ∅ pour i ∈ [|1, q +1|] implique l’existence d’un point x ∈ Sk i ∩Sl j .<br />
Toutefois, le clustering est réalisé sur les points <strong>de</strong> S <strong>et</strong> donc il existe une infinité <strong>de</strong> façons <strong>de</strong> définir<br />
les pavés fermés C ′ k <strong>de</strong> manière <strong>à</strong> satisfaire ˆ Sk = S ∩ Ck = S ∩ C ′ k . L’objectif <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te partie est <strong>de</strong><br />
définir un tel ensemble <strong>de</strong> pavés C ′ k "convenables" pour k ∈ [|1, q + 1|].<br />
Soient C1, .., Cq les q sous-domaines qui perm<strong>et</strong>tent le partitionnement géométrique <strong>de</strong> l’ensemble<br />
<strong>de</strong>s données S <strong>et</strong> soit Cq+1 le pavé <strong>de</strong> l’interface <strong>à</strong> distance γ pour chaque frontière ∂Cj <strong>de</strong>s pavés Cj<br />
soit : Cq+1 = {x ∈ Rp , ∃j ∈ [|1, q|], d(x, ∂Cj) < γ}. De plus, conformément <strong>à</strong> <strong>la</strong> stratégie présentée,<br />
on suppose que les points appartenant <strong>à</strong> <strong>de</strong>ux pavés Ci <strong>et</strong> Cj pour i = j sont sur <strong>la</strong> frontière <strong>de</strong> ∂Ci<br />
<strong>et</strong> ∂Cj soit : Int(Ci) ∩ Int(Cj) = ∅, ∀i, j ∈ [|1, q|].<br />
Définition 3.8. Soit dc le maximum <strong>de</strong> <strong>la</strong> distance minimale entre un point xj ∈ Cj <strong>et</strong> son plus<br />
proche voisin xk dans un pavé Ck avec j = k sur une même composante connexe Ωi, soit encore :<br />
dc = max dci<br />
Ωi<br />
avec dci = min<br />
xj ∈ Ωi ∩ Cj ∩ S,<br />
xk ∈ Ωi ∩ Ck ∩ S,<br />
j = k<br />
Par convention, <strong>la</strong> distance dci sur un ensemble vi<strong>de</strong> sera égale <strong>à</strong> 0.<br />
On rappelle que ωk <br />
i<br />
d(xj, xk). (3.8)<br />
k=1..ni sont les clusters issus du pavé Ci. Soient maintenant les ensembles C ′ k<br />
pour k ∈ [|1, q +1|] construits <strong>de</strong> <strong>la</strong> manière suivante : on commence avec C ′ i = Ci pour i ∈ [|1, q +1|]<br />
puis on applique <strong>la</strong> règle suivante,<br />
1. si ωk i ∩ ωl q+1 = ∅ <strong>et</strong> ωk i ∩ ωl q+1 ∩ S = ∅ pour i = q + 1 alors on pose C′ q+1 := C′ q+1 \ ωk i ∩ ωl <br />
q+1 ;