Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

92 Parallélisation de la classification spectrale
dans l’espace de projection. Dans cette partie, nous ne nous intéressons qu’à l’initialisation
des k centroïds, une étape difficile à définir et nous exploitons les propriétés des données dans
cet espace. Etant donné que les points sont projetés dans une p-hypersphère unité et qu’ils
sont concentrés autour de k points (cf figure 1.2) lorsque les données sont bien séparées, les k
centroïds doivent être choisis de manière adéquate pour faire converger l’algorithme. Parmi les
points projetés, les centroïds sont choisis tels qu’ils soient les plus éloignés les uns des autres le
long d’une même direction. En d’autres termes, soit Yj. un centroïd de l’espace de projection
spectral, le centroïd Ym. vérifie :
Etape de regroupement
m = arg max
j Yi. − Yj.∞.
La partition finale est formée du regroupement des partitions issues des nbproc − 1 analyses
indépendantes du clustering spectral sur les nbprocs − 1 sous-ensembles de S. Le regroupement
est réalisé à l’aide de la partition de l’interface et de la relation d’équivalence (3.3). Si un point
appartient à deux classes différentes, ces deux classes sont assemblées en un plus grand. En sortie
de la méthode en parallèle, une partition de l’ensemble S des données et un nombre final de classes
k sont obtenus.
Détails liés à la programmation
Quelques détails concernant plus spécification la programmation de la méthode de spectral
clustering parallèle doivent être précisés.
1. Calcul du spectre de la matrice affinité
Des routines classiques de la librairie LAPACK [6] sont utilisées pour calculer les valeurs
propres et les vecteurs propres de la matrice affinité normalisée relative à chaque sous-ensemble
de points.
2. Parallélisation
La parallélisation est effectuée à l’aide de la librairie MPI (Message Passing Interface) qui
permet aux nbproc processus de s’exécuter de manière autonome durant leur étape de clustering.
L’étape de découpage des données est menée par le premier processus qui transmet
ensuite les points de chaque sous-domaine au processus correspondant afin que celui-ci puisse
démarrer son clustering indépendamment des autres processus. L’étape de regroupement final
des clusters, quant à elle, est assurée par le premier processus lorsque toutes les classifications
ont été effectuées.
Un exemple du fonctionnement de la méthode est représenté avec le cas d’une cible divisée en
q = 4 sous-boîtes sur la figure 3.5. Sur la gauche, le résultat du clustering spectral est affiché pour
l’interface. Chaque couleur correspond à une classe. L’interface comprend 13 classes alors que le
résultat du clustering sur les 4 sous-domaines, représenté sur la droite de la figure 3.5, a défini 4
classes par sous-domaine. Le résultat global est k = 4 classes : une classe représentant un cercle.
3.2.2 Justification de la cohérence de la méthode
Dans cette section, la cohérence de la méthode précédemment introduite est étudiée. Notons
par ˆ Sk = Ck ∩ S l’ensemble de points pour le sous-domaine k, k ∈ [|1, q + 1|]. L’objectif est de