Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.2.1 Implémentation : composantes de l’algorithme 91
γ = 3σ fonction de σ (distance de référence dans le cas d’une distribution uniforme), permet
de regrouper les points pour connecter les partitions locales.
Comme l’ensemble des données de l’interface ne couvre pas le même volume que les autres
sous-domaines pavés, l’hypothèse d’isotropie n’est pas satisfaite et un paramètre particulier,
noté σ ∗ , d’affinité Gaussienne doit être considéré sur l’interface. La même idée que celle qui
nous a servi pour définir l’affinité 1.2 dans le cas d’une distribution isotrope est reprise mais
en adaptant le volume adéquat sur l’interface :
σ ∗ V ol(interface)
=
1
p
Ninterface
où V ol(interface) représente le volume réel de l’interface et Ninterface le nombre de points
dans l’interface. Le volume de l’interface est fonction de la largeur γ, du nombre de découpages
q et des longueurs l1, .., lp des boîtes sur chaque dimension comme suit la formule :
V ol(interface) =
p
i=1
(qi − 1)γ p−1 li − γ p Π p
i=1 (qi − 1). (3.7)
2. Sous-domaines
Chaque processus de 1 à nbproc a un sous-ensemble de données Si, i = 1...nbproc dont les
coordonnées sont incluses dans une sous-boîte géométrique. Le paramètre d’affinité Gaussienne
est défini par l’équation suivante (1.2) avec l’ensemble initial S de données :
σ = Dmax
N 1 .
p
Le paramètre est volontairement conservé global et basé sur l’ensemble entier des données
pour garder une distance référence, c’est-à-dire un seuil pour la partition globale. Garder
le caractère global du paramètre permet de garder des partitions locales en accord avec la
partition globale et avec une stratégie de décomposition en sous-domaines.
Classification spectrale sur les sous-domaines
Outre le choix du paramètre spécifique pour l’interface, quelques éléments de l’algorithme doivent
être précisés.
1. Nombre de clusters k
Un nombre limite de clusters nblimit est fixé a priori (par défaut, nblimit = 20), et correspond
le nombre de vecteurs propres que l’on va extraire sur chaque sous-problème. Pour
chaque sous-domaine, le nombre de classes k est choisi de telle sorte qu’il satisfasse l’équation
(3.3).
2. Espace de projection spectrale
La méthode k-means est utilisée pour définir les classes dans l’espace de projection spectrale. Il
existe de nombreuses études sur l’initialisation des centroïds pour éviter les minima locaux via,
entre autres, des estimateurs basés sur la distribution des données, des propriétés géométriques,
de la théorie des graphes [4, 19, 66, 57].
L’étude théorique de la méthode de spectral clustering a permis de définir une propriété de
clustering fonction du paramètre σ permettant de prouver la séparabilité entre les données