Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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90 Parallélisation de la classification spectrale la matrice affinité en la réordonnançant. 3.2 Classification spectrale parallèle avec interface Dans cette section, nous présentons une première stratégie de décomposition en sous-domaine du spectral clustering. Les diverses étapes de la stratégie parallèle seront étudiées puis la cohérence de la méthode sera vérifiée et enfin des exemples géométriques avec différents maillages seront testés et étudiés. Dans toute la suite, nous considérons l’ensemble de points S = {xi}i=1..N. 3.2.1 Implémentation : composantes de l’algorithme Dans cette section, les différentes composantes de la stratégie parallèle de décomposition en sous-domaines, représentées sur la figure 3.4, sont détaillées. Figure 3.4 – Principe du spectral clustering parallèle divisé en q = 2 sous-domaines Etape de prétraitement : partitionner S en q sous-domaines Incluons toutes les données dans une boîte de côté li pour la i me dimension, i = {1, .., p} où : li = max1
3.2.1 Implémentation : composantes de l’algorithme 91 γ = 3σ fonction de σ (distance de référence dans le cas d’une distribution uniforme), permet de regrouper les points pour connecter les partitions locales. Comme l’ensemble des données de l’interface ne couvre pas le même volume que les autres sous-domaines pavés, l’hypothèse d’isotropie n’est pas satisfaite et un paramètre particulier, noté σ ∗ , d’affinité Gaussienne doit être considéré sur l’interface. La même idée que celle qui nous a servi pour définir l’affinité 1.2 dans le cas d’une distribution isotrope est reprise mais en adaptant le volume adéquat sur l’interface : σ ∗ V ol(interface) = 1 p Ninterface où V ol(interface) représente le volume réel de l’interface et Ninterface le nombre de points dans l’interface. Le volume de l’interface est fonction de la largeur γ, du nombre de découpages q et des longueurs l1, .., lp des boîtes sur chaque dimension comme suit la formule : V ol(interface) = p i=1 (qi − 1)γ p−1 li − γ p Π p i=1 (qi − 1). (3.7) 2. Sous-domaines Chaque processus de 1 à nbproc a un sous-ensemble de données Si, i = 1...nbproc dont les coordonnées sont incluses dans une sous-boîte géométrique. Le paramètre d’affinité Gaussienne est défini par l’équation suivante (1.2) avec l’ensemble initial S de données : σ = Dmax N 1 . p Le paramètre est volontairement conservé global et basé sur l’ensemble entier des données pour garder une distance référence, c’est-à-dire un seuil pour la partition globale. Garder le caractère global du paramètre permet de garder des partitions locales en accord avec la partition globale et avec une stratégie de décomposition en sous-domaines. Classification spectrale sur les sous-domaines Outre le choix du paramètre spécifique pour l’interface, quelques éléments de l’algorithme doivent être précisés. 1. Nombre de clusters k Un nombre limite de clusters nblimit est fixé a priori (par défaut, nblimit = 20), et correspond le nombre de vecteurs propres que l’on va extraire sur chaque sous-problème. Pour chaque sous-domaine, le nombre de classes k est choisi de telle sorte qu’il satisfasse l’équation (3.3). 2. Espace de projection spectrale La méthode k-means est utilisée pour définir les classes dans l’espace de projection spectrale. Il existe de nombreuses études sur l’initialisation des centroïds pour éviter les minima locaux via, entre autres, des estimateurs basés sur la distribution des données, des propriétés géométriques, de la théorie des graphes [4, 19, 66, 57]. L’étude théorique de la méthode de spectral clustering a permis de définir une propriété de clustering fonction du paramètre σ permettant de prouver la séparabilité entre les données
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Institut National Polytechnique de
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ii TABLE DES MATIÈRES 2.5.1 Expér
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Remerciements Je tiens tout d’abo
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Introduction Les domaines des biolo
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Chapitre 1 : Classification spectra
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Chapitre 2 Classification et élém
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2.2 Présentation du résultat prin
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4.9.4 Comparaison avec la méthode
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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