Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.1.3 Définition du nombre de classes k 89
proche du cas idéal et donc le partitionnement obtenu est meilleur.
Sur la figure 3.3, le ratio ηk = 2 k k(k−1) i=1 rij en fonction du nombre de classes k est représenté
j=i+1
sur deux exemples représentant des classes aux densités variées. Rappelons que plus le ratio η est
proche de 0, plus la matrice réordonnancée a une structure bloc diagonale. Ainsi, on obtient une
partition où les classes sont séparées par une distance suffisante assurant des vecteurs propres
constants par morceaux. Ainsi, les données projetées dans l’espace spectral sont concentrées par
classes et séparées. Dans les deux exemples, le minimum est atteint pour la valeur de k adéquate.
(a) Smiley (b) 6 blocs
(c) Ratio ηk fonction de k (d) Ratio ηk fonction de k
Figure 3.3 – Exemples pour le choix du nombre de cluster k
Par contre, diviser l’ensemble entier des données en sous-ensembles peut aboutir à des sousdomaines
ne contenant qu’une seul classe. Donc si le nombre de classes k satisfaisant l’équation(3.5)
est égal à 2 sur un sous-domaine, le numérateur du ratio η2 est comparé à son dénominateur. On
définit un seuil β qui représentera la proportion pour laquelle l’affinité entre les classes est suffisante
pour déclarer qu’il existe 2 classes. Donc, si le ratio η2 est plus grand que la valeur de β, la valeur
de k est fixée à 1 au lieu de 2.
D’un point de vue numérique, cette heuristique exploite les éléments issus des premières étapes
de l’algorithme sans avoir à les reprendre : elle revient à concaténer des vecteurs propres, à appliquer
le k-means pour obtenir la partition dans l’espace de projection spectral, et à utiliser directement