Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

88 Parallélisation de la classification spectrale
k ne devra pas être fixé en amont puisque la distribution des points variant entre les domaines, ce
nombre variera d’un sous-domaine à un autre. Par conséquent, une heuristique doit être définie pour
automatiser le choix sur chaque sous domaine sans information a priori.
3.1.3 Définition du nombre de classes k
Le problème du choix du nombre de classes est un problème général pour les algorithmes de
classification non supervisée. De nombreuses méthodes existent. Certaines sont basées sur des estimateurs
issus de la vraisemblance entre les données [45]. Dans le cadre non supervisé où nous
disposons de peu d’informations, de nombreux critères ont été définis et sont principalement divisés,
d’une part, en critères internes comme la mesure de similarité définie en utilisant des métriques
différentes (euclidienne, Hartigan...) [97], et d’autre part en critères externes soit basés sur des modèles
physiques [116, 42] soit sur la mesure de l’écart statistique [15], la stabilité de la partition
[15, 14] ou encore la prédiction de la partition [36]. Concernant l’interprétation du spectral clustering
via la théorie de perturbation matricielle, une heuristique sur l’écart entre les valeurs propres
peut être définie. Cependant ces heuristiques souffrent d’une ou plusieurs des limitations suivantes :
choix de la métrique, sensibilité des fonctions coûts, coût numérique des estimations.
La problématique du choix de k est d’autant plus difficile à résoudre car ce nombre peut varier
d’un sous-domaine à un autre dans une stratégie de décomposition en sous-domaines. Pour ce faire,
nous considérons pour chaque sous-domaine la mesure de qualité basée sur les ratio de normes de
Frobenius, présentée au chapitre 1, pour évaluer le nombre de classes.
Heuristique 3.7. Soit nk un nombre limite de classes à chercher. Après avoir appliqué le spectral
clustering pour un nombre de cluster k ′ ∈ [|2, nk|], la matrice affinité A définie par (1.1) est réordonnancée
par classe. On obtient la matrice par bloc, notée L, telle que les blocs hors diagonaux
représentent les affinités entre les classes et les blocs diagonaux l’affinité intra-classe. Les ratios entre
les normes de Frobenius des blocs diagonaux et ceux hors-diagonaux sont évalués pour i, j ∈ [|1, k ′ |]
et i = j :
Nj m=1 |L(ij)
lm |2
1
2
rij = L(ij) F
L (ii) ,
F
avec L (ij) Ni F = l=1
Soit ηk ′ le ratio moyen des rij pour une valeur k ′ ∈ [|1, nk|] défini par :
ηk ′ =
et où Ni et Nj sont les dimensions du bloc (ij) de L.
2
k ′ (k ′ − 1)
k ′
i=1
j=i+1
rij. (3.4)
Alors le nombre de classe k satisfait la condition suivante, pour tout k ′ ∈ [|2, nk|] :
k = arg min
k ′ ηk ′. (3.5)
∈[|2,nk|]
Par définition, le nombre approprié de classes k correspond à une situation où des points qui
appartiennent à des classes différents aient le moins d’affinité entre eux et, dans le cas contraire, une
forte affinité entre eux s’ils appartiennent au même classe. Parmi diverses valeurs de k, le nombre
de classe final est défini de telle sorte que l’affinité soit la plus faible entre classes et la plus forte
au sein des classes. L’équation (3.5) donne un ratio moyen de l’affinité entre les classes. Si le ratio
ηk est proche de 0 alors la matrice affinité réordonnancée par classe a une structure bloc-diagonale,