TP Flexion Flèche - Cours de Génie Civil
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Module MS3 UE 2 .1 <strong>Flexion</strong> <strong>de</strong> poutres droites continues Page<br />
IUT <strong>Génie</strong> <strong>Civil</strong> 1 ère année<br />
<strong>TP</strong> <strong>de</strong> Résistance <strong>de</strong>s Matériaux –MS3<br />
FLEXION DE POUTRES DROITES CONTINUES<br />
(CAS ISOSTATIQUE et HYPERSTATIQUE)<br />
Objectifs du <strong>TP</strong><br />
• Détermination et comparaison <strong>de</strong> la déformée et <strong>de</strong> la flèche d'une poutre droite dans le cas<br />
isostatique puis dans le cas hyperstatique.<br />
• Influence <strong>de</strong>s liaisons externes.<br />
• Etu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s contraintes, et <strong>de</strong> leurs variations le long <strong>de</strong> la poutre hyperstatique.<br />
Remarque : étant donné la longueur et l’importance <strong>de</strong> la partie théorique, celle-ci <strong>de</strong>vra absolument<br />
être traitée avant <strong>de</strong> réaliser la partie expérimentale<br />
⌦ Matériels utilisés<br />
• Bâti <strong>de</strong> <strong>Flexion</strong><br />
• Poutres en acier doux<br />
• Jauges <strong>de</strong> déformations collées sur les poutres<br />
• Pont d'extensométrie<br />
• Comparateurs<br />
Rappels théoriques<br />
a) Généralités<br />
Dans le cas <strong>de</strong> la flexion dans le plan (xGy) , les efforts intérieurs dans n’importe quelle section droite<br />
se réduisent à un effort tranchant y Vr (perpendiculaire à la ligne moyenne) et à un moment fléchissant<br />
M Gz<br />
r<br />
(perpendiculaire à la ligne moyenne, et à y Vr ).<br />
Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupure fictive (section S) à la distance x <strong>de</strong><br />
l’origine A. En isolant le tronçon E1 (fig. 1), on obtient l’expression <strong>de</strong>s efforts tranchants y Vr et le<br />
moment fléchissant Gz Mr le long <strong>de</strong> la poutre (fig. 2).<br />
En flexion pure : Gz Mr ≠ 0 r avec y Vr = 0 r<br />
En flexion simple : Gz Mr ≠ 0 r avec y Vr ≠ 0 r<br />
Année universitaire 2007-2008 IUT St Pierre – Département génie civil-<br />
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y r<br />
z r<br />
Figure 2 : Efforts intérieurs dans une section droite.<br />
b) Etu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s contraintes normales liées à la flexion simple<br />
Hypothèses sur les déformations (principe <strong>de</strong> Navier-Bernouilli): les sections normales à la fibre<br />
moyenne restent planes après déformation <strong>de</strong> la poutre.<br />
fibre<br />
moyenne<br />
En flexion simple, les contraintes normales résultent du moment fléchissant. La contrainte normale<br />
dans une poutre en un point P d’une section Σ (fig. 3) est donnée par la relation : σ x = − y<br />
IGz<br />
Les efforts tranchants n’ont aucun effet sur leur valeur.<br />
y r<br />
Où MGz est le moment fléchissant dans la section Σ<br />
y est la distance <strong>de</strong> l’axe Gz au point P<br />
IGz est le moment quadratique <strong>de</strong> la section Σ par rapport à Gz<br />
E1<br />
z r A G<br />
A<br />
y r<br />
Ra<br />
Ra<br />
E1<br />
x<br />
F1<br />
Figure 1<br />
Fig. 3<br />
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M r<br />
x<br />
F1<br />
G<br />
E2<br />
MGz<br />
G<br />
F2<br />
M’<br />
x r<br />
Rb<br />
V r Vy<br />
x r<br />
z r<br />
G<br />
(Σ)<br />
M Gz<br />
M P F<br />
z<br />
y<br />
x r
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D’après cette formule, la contrainte normale est la même pour tous les points P situés sur le<br />
segment FM parallèle à G z r donc en particulier F et M.<br />
Considérons un point M’ très voisin <strong>de</strong> M à la même côte y ; lorsque la poutre se déforme, la longueur<br />
MM’ varie d’une certaine quantité Δ(MM’) ; d’après la loi <strong>de</strong> Hooke, la contrainte normale en M est :<br />
(MM')<br />
E<br />
MM'<br />
Δ<br />
σ x =<br />
Pour mesurer la contrainte normale au point P, il suffit donc <strong>de</strong> mesurer la variation <strong>de</strong> la longueur du<br />
segment MM’ grâce aux jauges et au pont d’extensométrie.<br />
c) Etu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s déformées.<br />
La poutre non chargée est placée dans le système d’axes Axy comme indiqué à la figure 4.<br />
Après application <strong>de</strong>s charges, la poutre prend une nouvelle position d’équilibre que l’on appelle<br />
déformée. La section droite Σ vient en Σ’ ; le centre G <strong>de</strong> Σ vient en G’. L’ordonnée <strong>de</strong> G’ est appelée<br />
déformée au point G, on la note v.<br />
L’angle dont il faut faire tourner Σ pour l’amener sur Σ’ est la rotation <strong>de</strong> la section Σ notée θ.<br />
L’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong> la déformée d’une poutre droite se ramène à la détermination <strong>de</strong>s fonctions v(x) et θ (x) et<br />
au tracé <strong>de</strong>s graphes <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux fonctions.<br />
ym<br />
Fig. 4<br />
A<br />
y r<br />
xm<br />
Les formules d'intégration permettent <strong>de</strong> déterminer la rotation et la déformée à l’abscisse x :<br />
d) Cas <strong>de</strong>s problèmes hyperstatiques :<br />
x<br />
M Gz ( x)<br />
v''<br />
( x)<br />
=<br />
E I<br />
dθ<br />
( x)<br />
= v''<br />
( x)<br />
d x<br />
Un système ou une poutre est dit hyperstatique chaque fois que les actions <strong>de</strong> contact exercées par<br />
les liaisons ne sont pas calculables à partir <strong>de</strong>s équations du principe fondamental <strong>de</strong> la statique.<br />
Les actions ne pourront être déterminées qu’après écriture d’autres équations obtenues à partir <strong>de</strong>s<br />
déformations <strong>de</strong> la poutre. Plusieurs métho<strong>de</strong>s sont ici possibles. Dans notre cas, nous utiliserons la<br />
métho<strong>de</strong> par superposition.<br />
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Gz<br />
θ (x)<br />
G’<br />
Σ’<br />
Σ<br />
G<br />
C<br />
x r<br />
v(x)<br />
Loi « moment – courbure »<br />
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L’utilisation du théorème <strong>de</strong> superposition permet <strong>de</strong> ramener un problème hyperstatique à la somme<br />
(addition algébrique ou vectorielle) <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux ou plusieurs problèmes isostatiques, dont la résolution est<br />
classique et connue (figure 5).<br />
En posant :<br />
Figure 5 : Exemple <strong>de</strong> décomposition d’un cas hyperstatique en cas isostatiques.<br />
y a = y1<br />
a + y2a<br />
= 0 , on obtient l’expression <strong>de</strong> l’effort en A.<br />
L’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s déformations et <strong>de</strong>s contraintes peut alors se faire car le problème est <strong>de</strong>venu isostatique.<br />
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A. ETUDE DE POUTRES ISOSTATIQUES<br />
A.1 - partie expérimentale : Mesure <strong>de</strong>s flèches et <strong>de</strong>s contraintes<br />
• Les essais sont effectués sur <strong>de</strong>ux types <strong>de</strong> poutres :<br />
Unités<br />
Désignation ------ Poutre 1 Poutre 2<br />
Matériaux ------- Acier Acier<br />
Section mm A mesurer A mesurer<br />
Longueur <strong>de</strong>s barres Cm 130 65<br />
Module d'elasticité Pa 2.1 10 11 2.1 10 11<br />
Tableau 1 : Description <strong>de</strong>s poutres utilisées.<br />
• Dans cet essai, on mesure les déformations relatives d’une poutre (en divers points à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong><br />
jauges) et les flèches (à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux comparateurs) associées aux mises en charge décrite sur les<br />
figures 6 et 7. Les manipulations se feront pour les poutres n°1 et n°2.<br />
MANIPULATION N°1 : Poutre sur <strong>de</strong>ux appuis<br />
Dans cet essai, on charge la poutre n°1 d’après la figure 1 :<br />
C D<br />
A B<br />
L/3<br />
L= l05 cm .<br />
Figure 6 : Position <strong>de</strong>s comparateurs et chargement <strong>de</strong> la poutre n° 1<br />
Charges : 10 N<br />
1. Mettre en place la poutre n°1 sur ses <strong>de</strong>ux appuis.<br />
2. Relever sur un schéma coté les positions précises par rapport à l’appui gauche :<br />
• <strong>de</strong>s jauges (position en abscisse x pour la valeur <strong>de</strong>s sollicitations, et position en ordonnée y<br />
<strong>de</strong> la fibre pour déterminer la contrainte). Compléter le tableau 4.<br />
• <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux comparateurs (C en L/3 et D en L/2). Compléter le tableau 3.<br />
• <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux charges<br />
3. Mesurer la longueur L entre appuis <strong>de</strong> la poutre et sa section. Compléter le tableau 2.<br />
4. Effectuer le réglage et la mise à zéro <strong>de</strong>s jauges d’extensométrie et <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux comparateurs.<br />
5. Appliquer les charges <strong>de</strong> 10 N sur la poutre (localisées sur la figure 6).<br />
6. Mesurer les flèches verticales expérimentales à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong>s comparateurs en C et D. Compléter le<br />
tableau 3.<br />
7. Relever les allongements relatifs mesurés par les jauges et en déduire les contraintes normales<br />
expérimentales. Compléter le tableau 4.<br />
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L/3<br />
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MANIPULATION N°2 : Poutre encastrée<br />
Dans cet essai, on charge la poutre n°2 d’après la figure 7 :<br />
Encastrement<br />
Figure 7 : Position <strong>de</strong>s comparateurs et chargement <strong>de</strong> la poutre n° 2<br />
1- Mettre en place la poutre n°2 dans son encastrement.<br />
2- Reprendre les étapes 2 à 7 <strong>de</strong> la manipulation n°1 (compléter les tableaux 2, 3 et 5)<br />
COMPLETER LES TABLEAUX SUIVANTS POUR LES POUTRES n°1 et n°2 :<br />
• Dimensions <strong>de</strong>s poutres :<br />
POUTRE<br />
N°1<br />
N°2<br />
35 cm env.<br />
Longueur entre appuis<br />
(en mm)<br />
(Tableau 2)<br />
Section<br />
Largeur en mm épaisseur en mm<br />
• Relevé <strong>de</strong>s flèches expérimentales (et comparaison avec les flèches théoriques) :<br />
Position en x (par rapport à l'appui <strong>de</strong> gauche) (en mm)<br />
MANIPULATION N°1 :<br />
POUTRE N°1<br />
MANIPULATION N°2 :<br />
POUTRE N°2<br />
L<br />
C D<br />
flèche<br />
expérimentale<br />
Unités Comparateurs<br />
----- C D<br />
(en mm)<br />
flèche théorique (en mm)<br />
flèche<br />
expérimentale<br />
(en mm)<br />
flèche théorique (en mm<br />
(Tableau 3)<br />
Charge : 10 N<br />
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• Relevés expérimentaux et théoriques <strong>de</strong>s allongements relatifs, et <strong>de</strong>s contraintes :<br />
MANIPULATION N°1 : POUTRE N°1 ISOSTATIQUE<br />
Position <strong>de</strong>s jauges Allongements relatifs Contraintes normales<br />
en x (par rapport à<br />
l’appui gauche)<br />
en y ε expérimentales σ expérimentales σ théorique<br />
(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²)<br />
J1<br />
J2<br />
J3<br />
J4<br />
J5<br />
J6<br />
J7<br />
J8<br />
(Tableau 4)<br />
MANIPULATION N°2 : POUTRE N°2 ISOSTATIQUE<br />
Position <strong>de</strong>s jauges Allongements relatifs Contraintes normales<br />
en x (par rapport à<br />
l’appui gauche)<br />
en y ε expérimentales σ expérimentales σ théorique<br />
(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²)<br />
J1<br />
J2<br />
J3<br />
J4<br />
J5<br />
J6<br />
J7<br />
J8<br />
(Tableau 5)<br />
A2- Exploitation <strong>de</strong>s résultats et partie théorique<br />
Pour les <strong>de</strong>ux poutres étudiées :<br />
1. Etablir le schéma mécanique <strong>de</strong> la manipulation (coter le).<br />
2. Déterminer les expressions <strong>de</strong>s sollicitations théoriques (NGx, VGy et MGz) pour le cas <strong>de</strong> charge<br />
étudié puis tracer les diagrammes théoriques correspondants (indiquer les échelles choisies).<br />
3. Calculer (compléter les tableaux 4 et 5) puis tracer le diagramme <strong>de</strong> la contrainte normale σ<br />
théorique pour la fibre ou se situent les jauges (préciser l’échelle choisie).<br />
4. Positionner les valeurs <strong>de</strong>s contraintes normales σ expérimentales sur ce diagramme théorique.<br />
Conclusion.<br />
5. Déterminer à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la loi « moment-courbure », l’expression <strong>de</strong> la déformée <strong>de</strong> la poutre pour<br />
le cas <strong>de</strong> charge étudié puis tracer la courbe correspondante (préciser l’échelle choisie). Calculer<br />
les flèches théoriques en C et D (compléter le tableau 3).<br />
6. Positionner les valeurs <strong>de</strong>s flèches expérimentales sur ce diagramme théorique. Conclusion.<br />
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B. ETUDE DE POUTRES HYPERSTATIQUES<br />
B.1 - partie expérimentale : Mesure <strong>de</strong>s flèches et <strong>de</strong>s contraintes<br />
MANIPULATION N°3 : Poutre continue sur trois appuis<br />
Dans cet essai, on charge la poutre n°1 d’après la figure 8 :<br />
A<br />
L/3<br />
L/2<br />
C D<br />
2 L/3<br />
Charges<br />
équivalentes<br />
<strong>de</strong> 10 N<br />
105 cm<br />
Figure 8 : Position <strong>de</strong>s comparateurs et chargement <strong>de</strong> la poutre n° 1 sur ses 3 appuis<br />
1. Mettre en place la poutre n°1 sur ses trois appuis.<br />
2. Relever sur un schéma coté les positions précises par rapport à l’appui gauche :<br />
• <strong>de</strong>s jauges (position en abscisse x pour la valeur <strong>de</strong>s sollicitations, et position en ordonnée y<br />
<strong>de</strong> la fibre pour déterminer la contrainte). Compléter le tableau 8.<br />
• <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux comparateurs (C en L/3 et D en 2L/3). Compléter le tableau 7.<br />
3. Mesurer la longueur entre appuis <strong>de</strong> la poutre et sa section. Compléter le tableau 6.<br />
4. Effectuer le réglage et la mise à zéro <strong>de</strong>s jauges d’extensométrie et <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux comparateurs.<br />
5. Appliquer les charges <strong>de</strong> 10 N sur la poutre (localisées sur la figure 8).<br />
6. Mesurer les flèches verticales expérimentales à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong>s comparateurs en C et D. Compléter le<br />
tableau 7.<br />
7. Relever les allongements relatifs mesurés par les jauges et en déduire les contraintes normales<br />
expérimentales. Compléter le tableau 8.<br />
Année universitaire 2007-2008 IUT St Pierre – Département génie civil-<br />
B<br />
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MANIPULATION N°4 : Poutre encastrée-appuyée<br />
Dans cet essai, on charge la poutre n°2 d’après la figure 9 :<br />
Encastrement<br />
Figure 9 : Position <strong>de</strong>s comparateurs et chargement <strong>de</strong> la poutre n° 2 encastrée-appuyée<br />
1- Mettre en place la poutre n°2 dans son encastrement et sur son appui en D.<br />
2- Reprendre les étapes 2 à 7 <strong>de</strong> la manipulation n°3 (compléter les tableaux 6, 7 et 9)<br />
COMPLETER LES TABLEAUX SUIVANTS POUR LES POUTRES n°1 et n°2 :<br />
• Dimensions <strong>de</strong>s poutres :<br />
POUTRE<br />
N°1<br />
N°2<br />
35 cm env.<br />
Longueur entre appuis<br />
(en mm)<br />
(Tableau 6)<br />
Section<br />
Largeur en mm épaisseur en mm<br />
• Relevé <strong>de</strong>s flèches expérimentales (et comparaison avec les flèches théoriques) :<br />
Position en x (par rapport à l'appui <strong>de</strong> gauche) (en mm)<br />
MANIPULATION N°3 :<br />
POUTRE N°1<br />
MANIPULATION N°4 :<br />
POUTRE N°2<br />
L<br />
C<br />
flèche<br />
expérimentale<br />
Unités Comparateurs<br />
----- C D<br />
(en mm)<br />
flèche théorique (en mm))<br />
flèche<br />
expérimentale<br />
(en mm)<br />
flèche théorique (en mm))<br />
(Tableau 7)<br />
Charge : 10 N<br />
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D<br />
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• Relevés expérimentaux et théoriques <strong>de</strong>s allongements relatifs, et <strong>de</strong>s contraintes :<br />
MANIPULATION N°3 : POUTRE N°1 HYPERSTATIQUE<br />
Position <strong>de</strong>s jauges Allongements relatifs Contraintes normales<br />
en x (par rapport à<br />
l’appui gauche)<br />
en y ε expérimentales σ expérimentales σ théorique<br />
(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²)<br />
J1<br />
J2<br />
J3<br />
J4<br />
J5<br />
J6<br />
J7<br />
J8<br />
(Tableau 8)<br />
MANIPULATION N°4 : POUTRE N°2 HYPERSTATIQUE<br />
Position <strong>de</strong>s jauges Allongements relatifs Contraintes normales<br />
en x (par rapport à<br />
l’appui gauche)<br />
en y ε expérimentales σ expérimentales σ théorique<br />
(unité) (en mm) (en mm) (en μm/m) (en Ν/mm²) (en Ν/mm²)<br />
J1<br />
J2<br />
J3<br />
B2- Exploitation <strong>de</strong>s résultats et partie théorique<br />
Pour la poutre n°1 sur 3 appuis :<br />
1- Etablir le schéma mécanique <strong>de</strong> la manipulation (coter le).<br />
2- Donner le <strong>de</strong>gré d’hyperstaticité.<br />
3- A l'ai<strong>de</strong> du logiciel RDM LE MANS, donner le diagramme <strong>de</strong> la déformée théorique <strong>de</strong> la poutre<br />
pour le cas <strong>de</strong> charge étudié puis déterminer les valeurs théoriques <strong>de</strong>s flèches en C et D.<br />
Compléter le tableau 7.<br />
4- Positionner les valeurs <strong>de</strong>s flèches expérimentales sur ce diagramme théorique. Conclusion.<br />
5- En appliquant les formules <strong>de</strong> Clapeyron (voir cours MS3), pour le cas <strong>de</strong> charge étudié :<br />
• Déterminer l’expression théorique <strong>de</strong>s sollicitations internes dans la poutre<br />
• Tracer les diagrammes <strong>de</strong>s sollicitations internes dans la poutre<br />
• Déterminer l’expression <strong>de</strong>s réactions <strong>de</strong> liaisons aux appuis<br />
6- Calculer (compléter le tableau 8) puis tracer le diagramme <strong>de</strong> la contrainte normale σ théorique<br />
pour la fibre ou se situent les jauges (préciser l’échelle choisie).<br />
7- Positionner les valeurs <strong>de</strong>s contraintes normales σ expérimentales sur ce diagramme théorique.<br />
Conclusion.<br />
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Pour la poutre n°2 encastrée-appuyée :<br />
1- Etablir le schéma mécanique <strong>de</strong> la manipulation (coter le).<br />
2- Donner le <strong>de</strong>gré d’hyperstaticité.<br />
3- A l'ai<strong>de</strong> du logiciel RDM LE MANS, donner le diagramme <strong>de</strong> la déformée théorique <strong>de</strong> la<br />
poutre pour le cas <strong>de</strong> charge étudié puis déterminer la valeur théorique <strong>de</strong> la flèche en C<br />
Compléter le tableau 7.<br />
4- Positionner la valeur <strong>de</strong> la flèche expérimentale sur ce diagramme théorique. Conclusion.<br />
5- Calculer à partir <strong>de</strong> la mesure expérimentale <strong>de</strong> la flèche en D (manipulation n°2), la valeur <strong>de</strong><br />
la réaction <strong>de</strong> liaison YD pour le cas <strong>de</strong> charge étudié dans la manipulation n°4.<br />
Indication : La résolution d’un système hyperstatique passe par l’étu<strong>de</strong> d’un système<br />
isostatique auquel on impose <strong>de</strong>s conditions <strong>de</strong> déplacement (voir exemple page 4 figure 5).<br />
6- En déduire le diagramme <strong>de</strong> la contrainte normale σ pour la fibre ou se situent les jauges<br />
(préciser l’échelle choisie). Pius compléter le tableau 9.<br />
7- Conclusion<br />
Conclusion<br />
1- Comparer les résultats (flèche maximale, contraintes maximales….) obtenus pour une poutre<br />
isostatique sur <strong>de</strong>ux appuis à ceux obtenus pour la même poutre sur 3 appuis pour le même<br />
cas <strong>de</strong> charge. Conclusion<br />
2- Comparer les résultats (flèche maximale, contraintes maximales….) pour une poutre<br />
isostatique encastrée (en console) à ceux obtenus pour une poutre encastrée et appuyée.<br />
Donner les avantages et les inconvénients <strong>de</strong> l’appui supplémentaire.<br />
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