Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 95
1
1/3
1
1
1−p
Figure 2.11 – Fonctions de répartition des lois de Bernoulli B(2/3) et B(p).
Considérons n variables X1,...,Xn qui suivent toutes la même loi de Bernoulli B(p) et
indépendantes c’est-à-dire que :
∀(i1,...,in) ∈ {0,1} n È(X1 = i1,...,Xn = in) =È(X1 = i1)...È(Xn = in).
Considérons alors la variable aléatoire X = X1+···+Xn. Elle est à valeurs dans{0,1,...,n}.
Fixons k entre 0 et n et cherchonsÈ(X = k). Pour que X = k, il faut que exactement k des
variables Xi prennent la valeur 1 et (n−k) la valeur 0, ce qui s’écrit :
È(X = k) = P(X1 = i1,...,Xn = in),
donc par l’indépendance des Xi :
È(X = k) =
(i1,...,in):i1+···+in=k
(i1,...,in):i1+···+in=kÈ(X1 = i1)...È(Xn = in).
Il suffit alors de voir que lorsque i1+···+in = k, la quantitéÈ(X1 = i1)...È(Xn = in) est
toujours la même, égale à p k (1−p) n−k , donc :
È(X = k) =
(i1,...,in):i1+···+in=k
p k (1−p) n−k = p k (1−p) n−k #{(i1,...,in) : i1+···+in = k}.
Et comme on l’a vu plus haut, le nombre de n-uplets comptant exactement k “1” et (n−k)
“0” est n
k , donc :
n
È(X = k) = p
k
k (1−p) n−k ⇒ X ∼ B(n,p).
Dit brièvement, une loi binomialeB(n,p) peut être vue comme la somme denlois de Bernoulli
B(p) indépendantes.
3. Associons à chacun des n clients une variable Xi valant 1 s’il choisit la caisse numéro 1 et
0 sinon. Pour tout i entre 1 et n, Xi suit donc une loi de Bernoulli. Son paramètre est la
probabilité que le client i choisisse la caisse numéro 1, c’est-à-dire 1/m, donc Xi ∼ B(1/m).
Puisque les clients prennent leur décision indépendamment les uns des autres, les variables
Xi sont indépendantes. La variable X qui nous intéresse, nombre total de clients à opter pour
la caisse numéro 1, est alors tout simplement la somme des Xi. Par la question précédente
on en conclut que X ∼ B(n,1/m).
Exercice 2.4 (Loi hypergéométrique)
1. Supposons d’entrée que n ≤ Np et n ≤ Nq, ce qui est le cas courant lorsque N est bien plus
grand que n, et p pas trop petit. La variable X est alors à valeurs dans {0,...,n}. Fixons
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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