Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

94 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
4. La variable X est à valeurs dans {1,...,n}. Calculons la probabilitéÈ(X = 1) : il y a a
priori n! ordres d’arrivées possibles pour les n patients. Si le plus grand arrive en premier, il
reste (n−1) patients qui arrivent ensuite dans un ordre aléatoire, donc (n−1)! possibilités,
donc au finalÈ(X = 1) = (n−1)!/n! = 1/n. On voit que le raisonnement que l’on vient de
faire pour calculerÈ(X = 1) est tout aussi valable pourÈ(X = 2),È(X = 3), etc. Ainsi X
suit une loi uniforme sur {1,...,n}.
1
1/2
1
1
1/6
1 2 3 4 5 6
1
1/n
1 2 n
Figure 2.10 – Fonctions de répartition des lois uniformes U {0,1}, U {1,...,6} et U {1,...,n}.
Exercice 2.2 (Loi de Bernoulli)
1. Notons F la fonction de répartition de X. On a :
⎧
⎨
F(x) =
⎩
0 si x < 0
1
3 si 0 ≤ x < 1
1 si x ≥ 1
Cette fonction de répartition est représentée sur la figure 2.11 à gauche.
2. La fonction de répartition est représentée sur la figure 2.11 à droite.
3. Si on ne tirait qu’une boule de l’urne, on aurait 1 chance sur (N +B+1) d’obtenir la boule
rouge. Si on en tirait 2, on multiplie nos chances par 2, etc. Si on en tire n, on multiplie nos
chances par n, il y a donc n/(N +B +1) chances que la boule rouge soit parmi les boules
piochées. Ainsi X ∼ B(n/(N +B +1)).
4. Il faut calculer la probabilité qu’à l’instant 2n, l’étudiant soit à nouveau en son point de
départ. Pour ça, il faut qu’il ait fait autant de déplacements vers la droite que vers la gauche.
Il y a en tout 22n suites possibles de +1 et -1 de longueur 2n. Parmi celles-ci, seules nous
intéressent celles où il y a exactement n fois +1. Or il y a 2n n façons de placer ces +1 dans la
suite de longueur 2n correspondant aux déplacements successifs de l’étudiant. La probabilité
qu’à l’instant 2n l’étudiant soit à nouveau à son point de départ est donc 2n n /22n , donc
X ∼ B( 2n n /22n ).
Exercice 2.3 (Loi binomiale)
1. La variable X est à valeurs dans {0,1,...,n}. Fixons donc k entre 0 et n et cherchons
È(X = k). Chaque n-uplet ayant la même probabilité 2−n d’apparaître, il suffit de compter
combien de ces n-uplets comptent exactement k “1” et (n−k) “0” : ceci revient à choisir une
combinaison de k indices parmi n, il y en a donc n k . On en déduit la loi de X :
∀k ∈ {0,1,...,n} È(X = k) =
2. Pour vérifier que c’est bien une loi de probabilité, il suffit d’utiliser la formule du binôme
(d’où le nom de cette loi) :
n n
n
pk = p
k
k (1−p) n−k = (p+(1−p)) n = 1.
k=0
k=0
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
n k
.
2n