Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.7. Corrigés 93
4. Déterminer votre bénéfice moyen lorsque vous achetez un billet.
Exercice 2.44 (Dé coloré)
Un joueur dispose d’un dé équilibré à six faces avec trois faces blanches, deux vertes et une rouge.
Le joueur lance le dé et observe la couleur de la face supérieure :
– s’il observe une face rouge, il gagne 2 euros ;
– s’il observe une face verte, il perd 1 euro;
– s’il observe une face blanche, il relance le dé et : pour une face rouge, il gagne 3 euros ; pour une
face verte, il perd 1 euro; pour une face blanche, le jeu est arrêté sans gain ni perte.
Soit X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) de ce joueur.
1. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de X.
2. Calculer l’espérance de X.
3. Calculer la variance et l’écart-type de X.
4. Le joueur effectue 144 parties successives de ce jeu. Donner une valeur approchée de la
probabilité que son gain sur les 144 parties soit positif.
Exercice 2.45 (Beaujolais nouveau)
Le beaujolais nouveau est arrivé.
1. Un amateur éclairé, mais excessif, se déplace de réverbère en réverbère. Quand il se lance pour
attraper le suivant, il a 80% de chances de ne pas tomber. Pour gagner le bistrot convoité, il
faut en franchir 7. On notera X le nombre de réverbères atteints sans chute.
(a) Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ?
(b) Préciser sa loi.
2. Quand il sort du café, son étape suivante est l’arrêt de bus. Le nombre de chutes pour y
parvenir, noté Y , suit une loi de Poisson P(4). Calculer la probabilité de faire au plus deux
chutes.
3. Arrivé dans l’ascenseur, il appuie au hasard sur un des huits boutons. S’il atteint son étage
ou s’il déclenche l’alarme, il sort de l’ascenceur, sinon il réappuie au hasard sur un des huits
boutons. Soit Z le nombre de boutons pressés avant d’atteindre son étage ou de déclencher
l’alarme.
(a) Quelle est la loi de Z ?
(b) Donner son espérance et sa variance.
2.7 Corrigés
Exercice 2.1 (Loi uniforme)
1. Notons F la fonction de répartition de X. On a :
⎧
⎨
F(x) =
⎩
0 si x < 0
1
2 si 0 ≤ x < 1
1 si x ≥ 1
Cette fonction de répartition est représentée sur la figure 2.10 à gauche.
2. La fonction de répartition est représentée sur la figure 2.10 au centre.
3. La fonction de répartition est représentée sur la figure 2.10 à droite.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2