Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

92 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
(a) lorsque t tend vers l’infini avec n fixé? Interpréter.
(b) lorsque n tend vers l’infini avec t fixé? Interpréter.
Exercice 2.41 (Systèmes de contrôle)
Deux systèmes de contrôle électrique opèrent indépendamment et sont sujets à un certain nombre
de pannes par jour. Les probabilités pn (respectivement qn) régissant le nombre n de pannes par
jour pour le système 1 (resp. 2) sont données dans les tableaux suivants :
Système 1 Système 2
n pn
0 0.07
1 0.35
2 0.34
3 0.18
4 0.06
n qn
0 0.10
1 0.20
2 0.50
3 0.17
4 0.03
1. Calculer les probabilités des événements suivants :
(a) Le système 2 a au moins 2 pannes dans la journée.
(b) Il se produit une seule panne dans la journée.
(c) Le système 1 a le même nombre de pannes que le système 2.
2. Quel est le nombre moyen de pannes du système 1 par jour? Comparer à celui du système
2.
3. Supposons que l’équipe de mécaniciens ne puisse réparer qu’un maximum de 6 pannes par
jour. Dans quelle proportion du temps ne pourra-t-elle pas suffire à la tâche?
Exercice 2.42 (Kramer contre Kramer)
On effectue des tirages sans remise dans une urne contenant initialement 3 boules rouges et 3
boules noires jusqu’à obtenir une boule noire. On appelle X le numéro du tirage de cette boule
noire (ainsi X = 1 si la première boule tirée est noire).
1. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ? Avec quelles probabilités ?
2. Représenter sa fonction de répartition F.
3. Calculer l’espérance et la variance de X.
4. On classe 3 hommes et 3 femmes selon leur note à un examen. On suppose toutes les notes
différentes et tous les classements équiprobables. On appelle R le rang de la meilleure femme
(par exemple R = 2 si le meilleur résultat a été obtenu par un homme et le suivant par une
femme). Donner la loi de R.
Exercice 2.43 (Loterie)
Dans une loterie, un billet coûte 1 euro. Le nombre de billets émis est 90000, numérotés de 10000
à 99999, chaque billet comportant donc 5 chiffres. Un numéro gagnant est lui-même un nombre
entre 10000 et 99999. Lorsque vous achetez un billet, vos gains possibles sont les suivants :
votre billet correspond au numéro gagnant 10000 euros
vos 4 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 1000 euros
vos 3 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 100 euros
1. Quelle est la probabilité d’avoir le numéro gagnant?
2. Quelle est la probabilité de gagner 1000 euros ?
3. Quelle est la probabilité de gagner 100 euros ?
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités