Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.6. Exercices 89
1. Soit X le nombre de soldats porteurs de cette maladie. Quelle est la loi de X ? Rappeler sa
moyenne.
2. Par quelle loi peut-on approcher celle de X ? Dans la suite, on pourra faire les calculs avec
la loi exacte ou utiliser cette approximation.
3. Cette maladie est détectable à l’aide d’un test sanguin et, pour faciliter les choses, on ne
teste qu’un mélange du sang de chacun des 500 soldats. Quelle est la probabilité que le test
soit positif, c’est-à-dire qu’au moins une des personnes soit malade?
4. On suppose que le test a été positif. Dans ce cas, quelle est la probabilité qu’au moins deux
personnes soient malades ?
5. L’un des soldats s’appelle Jean, et Jean sait qu’il est porteur de la maladie. Quelle doit
être, de son point de vue, la probabilité qu’une autre personne au moins soit porteuse de la
maladie?
6. Le test étant positif, il est décidé que des tests individuels sont menés. Les (n−1) premiers
tests sont négatifs, le n-ème est positif : c’est celui de Jean. Quelle est la probabilité, en
fonction de n, qu’une des personnes restantes au moins soit malade?
Exercice 2.31 (Boules blanches et noires)
Un sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules les unes après les autres,
sans remise, jusqu’à obtenir une boule blanche. On appelle X le nombre de tirages nécessaires pour
obtenir cette boule blanche.
1. Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire X ?
2. Donner la loi de X.
3. Représenter sa fonction de répartition F.
4. Calculer E[X] et Var(X).
Exercice 2.32 (Défaut de fabrication)
On admet que la probabilité de défaut pour un objet fabriqué à la machine est égale à 0,1. On
considère un lot de 10 objets fabriqués par cette machine. Soit X le nombre d’objets défectueux
parmi ceux-ci.
1. Comment s’appelle la loi suivie par X ?
2. Que valent E[X] et Var(X)?
3. Quelle est la probabilité que le lot comprenne au plus 1 objet défectueux ?
4. Retrouver ce résultat grâce à l’approximation par une loi de Poisson.
Exercice 2.33 (Recrutement)
Une entreprise veut recruter un cadre. Il y a en tout 10 candidats à se présenter pour ce poste.
L’entreprise fait passer un test au premier candidat, qui est recruté s’il le réussit. Sinon, elle fait
passer le même test au second candidat et ainsi de suite. On suppose que la probabilité qu’un
candidat réussisse le test est égale à p, réel fixé compris entre 0 et 1. On appelle alors X la variable
aléatoire à valeurs dans {1,...,11} qui vaut k si c’est le candidat numéro k qui est recruté, et 11
si aucun candidat n’est recruté.
1. Calculer en fonction de p les probabilitésÈ(X = 1),È(X = 2),...,P(X = 10). Déterminer
aussiÈ(X = 11).
2. Comment doit-on choisir p pour que la probabilité de ne recruter personne soit inférieure à
1%?
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2