Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

88 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
(e) Déduire desÈ(X ≥ i) la loi de X, c’est-à-direÈ(X = i) pour chaque valeur i.
4. Généralisation : soit X variable aléatoire à valeurs dansÆ∗ admettant une espérance.
(a) En vous inspirant de ce qui précède, donner une nouvelle formulation de E[X] (on ne
demande pas de justifier la convergence de la série).
(b) On a quatre dés équilibrés en main qu’on lance en même temps jusqu’à ce qu’apparaisse
le numéro 2 sur au moins l’un des quatre dés. Quel est le nombre moyen de “quadruples
lancers” nécessaires ?
Exercice 2.26 (Somme de variables poissoniennes)
Soit X1 ∼ P(λ1) et X2 ∼ P(λ2), avec X1 et X2 indépendantes. On note X = (X1+X2) la somme
de ces deux variables.
1. Soit n ∈Æfixé. Justifier la décomposition : {X = n} = n
k=0 {X1 = k,X2 = n−k}.
2. En déduire que X ∼ P(λ1 +λ2).
3. Généralisation : soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois de Poisson de
paramètres respectifs λ1,...,λn, avec λi > 0 pour tout i ∈ {1,...,n}. Quelle est la loi de la
variable X = X1 +···+Xn ?
Exercice 2.27 (Un calendrier stochastique)
Supposons que chacune des 12 faces d’un dodécaèdre équilibré corresponde à un mois de l’année.
On lance ce dé et on appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de jours du mois
obtenu (on considère une année non bissextile).
1. Quelles valeurs peut prendre la variable X ? Avec quelles probabilités ?
2. Représenter la fonction de répartition de X.
3. Calculer l’espérance de X, ainsi que son écart-type.
4. Supposons maintenant qu’on tire au hasard un jour de l’année (toujours supposée non bissextile)
et qu’on appelle Y le nombre de jours du mois correspondant à ce tirage. Quelles
valeurs peut prendre la variable Y ? Avec quelles probabilités ? Calculer la moyenne de Y .
Exercice 2.28 (Loi à partir des moments)
On considère une variable aléatoire X à valeurs dans {0,1,2}. On sait queE[X] = 1 et Var(X) = 1
2 .
En déduire la loi de X.
Exercice 2.29 (Dés et accidents)
1. On dispose de deux dés qu’on lance simultanément 12 fois de rang et on appelle X le nombre
de double six obtenus sur les 12 lancers.
(a) Quelle est la loi de X ? Donner sa moyenne et sa variance.
(b) CalculerÈ(X ≤ 2).
(c) Que vaut cette quantité si on effectue l’approximation par une loi de Poisson?
2. Sur la voie express Rennes-Nantes, il y a en moyenne 2 accidents par semaine, cette variable
suivant approximativement une loi de Poisson.
(a) Une semaine, il y a eu 4 accidents. Quelle était la probabilité d’un tel événement?
(b) Lorsque X1 et X2 sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètres
respectifs λ1 et λ2, quelle est la loi suivie par la variable X1 +X2 ?
(c) En déduire la probabilité qu’il se passe 2 semaines sans accident.
Exercice 2.30 (Test sanguin)
Chacun des soldats d’une troupe de 500 hommes est porteur d’une certaine maladie avec une
probabilité 1/1000, indépendamment les uns des autres.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités