Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

86 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
1. Donner la loi de X. En déduire E[X].
2. Exprimer X +Y en fonction de U1 et U2. En déduire E[Y].
3. Exprimer XY en fonction de U1 et U2. En déduire E[XY], puis Cov(X,Y).
Exercice 2.16 (Memento (absence
∈Æ×Æ
de mémoire))
Soit X ∼ G(p) loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[.
1. Soit n ∈Æ. ExprimerÈ(X > n) en fonction de p et n. Quel est le lien avec F(n), où F est
la fonction de répartition de X ?
2. En déduire la propriété dite “ d’absence de mémoire ” de la loi géométrique, à savoir que :
∀(m,n) È(X > n+m|X > m) =È(X > n).
Exercice 2.17 (Minimum de lois géométriques)
Soit X1 ∼ G(p1) où p1 ∈]0,1[, X2 ∼ G(p2) où p2 ∈]0,1[, avec X1 et X2 indépendantes. Notons
X = min(X1,X2) le minimum de ces deux variables.
1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X ?
2. Soit n ∈Æ. ExprimerÈ(X > n) en fonction de p1, p2 et n. En déduire la loi de X.
3. Application : on a en main deux dés qu’on lance en même temps jusqu’à ce qu’apparaisse le
numéro 2 sur au moins l’un des deux dés. Quel est le nombre moyen de “ doubles lancers ”
nécessaires ?
4. Généralisation : soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois géométriques de
paramètres respectifs p1,...,pn, avec pi ∈]0,1[ pour tout i ∈ {1,...,n}. Donner la loi de la
variable aléatoire X = min(X1,...,Xn).
Exercice 2.18 (Un problème de natalité)
Supposons qu’à la naissance, la probabilité qu’un nouveau-né soit un garçon est de 1/2. Supposons
encore que tout couple engendre jusqu’à obtention d’un garçon. Le but est de trouver la proportion
de garçons dans ce modèle théorique.
1. Notons X le nombre d’enfants d’un couple. Donner la loi de la variable aléatoire X.
2. Soit P la proportion de garçons parmi les enfants d’un couple. Exprimer P en fonction de
X.
3. En déduire que E[P] = ln2 ≈ 0.69 (on rappelle que pour tout x ∈ [−1,1[, ln(1 − x) =
− +∞
n=1 xn
n ).
Exercice 2.19 (Tirages de cartes)
On note X la variable aléatoire égale au nombre de rois obtenus lorsqu’on tire successivement 5
cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes. Préciser la loi de X, son espérance et sa variance.
Exercice 2.20 (Codage redondant)
Un canal de transmission ne peut traiter que des 0 et des 1. En raison des perturbations sur ce
canal, un 0 peut être transformé en 1 et un 1 en 0 lors d’une transmission, et ce avec la même
probabilité p = 0,2 indépendamment à chaque instant. Pour diminuer la probabilité d’erreur, on
décide de transmettre 00000 à la place de 0 et 11111 à la place de 1 (codage dit redondant). Si le
récepteur décode suivant la règle de la majorité, quelle est la probabilité que le message soit mal
interprété?
Exercice 2.21 (Inégalité de Tchebychev)
On jette 3600 fois un dé et on appelle S le nombre de fois où apparaît le numéro 1.
1. Quelle est la loi de S ? Donner sa moyenne et sa variance.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités