Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
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4 Chapitre 1. Espaces probabilisés – Continuité monotone décroissante : si (An)n∈Æest une suite d’événements décroissante pour l’inclusion (figure 1.3), alors : È +∞ An = lim n→∞È(An). n=0 Preuve. – Monotonie : il suffit d’appliquer la σ−additivité avec A0 = A, A1 = B \A et An = ∅ pour tout n ≥ 2. Ceci donne : È(B) =È(A)+È(B \A), et puisqueÈ(B \A) ≥ 0, on a bienÈ(A) ≤È(B). – Additivité forte : on décompose de façon disjointe d’où il vient par σ−additivité : A∪B = (A\(A∩B))∪(A∩B)∪(B \(A∩B)), È(A∪B) =È(A\(A∩B))+È(A∩B)+È(B \(A∩B)), et on peut utiliser la propriété précédente : È(A∪B) =È(A)−È(A∩B)+È(A∩B)+È(B)−È(A∩B) =È(A)+È(B)−È(A∩B), qui aboutit bien à : È(A)+È(B) =È(A∪B)+È(A∩B). +∞ n=0 An Figure 1.2 – Suite d’ensembles croissante pour l’inclusion. – Sous-additivité dénombrable : on construit la suite d’ensembles (Bn) comme suit : B0 = A0 et pour tout n ≥ 1 : n−1 Bn = An \ . Il est clair que les Bn sont deux à deux disjoints, que Bn ⊆ An pour tout n, et que : A2 A1 A0 k=0 +∞ +∞ An = n=0 Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités n=0 Ak Bn. Ω
1.1. Qu’est-ce qu’une probabilité? 5 On peut alors appliquer la σ−additivité : È +∞ +∞ =È n=0 An n=0 Bn +∞ = ≤ n=0È(Bn) +∞ n=0È(An), la dernière inégalité provenant de la propriété de monotonie vue ci-dessus. – Continuité monotone croissante : on reprend la suite d’ensembles (Bn) comme ci-dessus en remarquant que pour tout n : An = B0 ∪B1 ∪···∪Bn. Il s’ensuit que : È +∞ n=0 An =È +∞ n=0 Bn +∞ = = lim n=0È(Bn) N→+∞ N n=0È(Bn) = lim N→+∞È(AN). – Continuité monotone décroissante : on considère cette fois la suite d’ensembles (Cn)n≥0 définie par : Cn = A0 \An. Par la propriété de monotonie on a donc : La suite (Cn)n≥0 est croissante et : ∀n ≥ 0 È(Cn) =È(A0)−È(An). +∞ n=0 Cn = A0 \ +∞ Puisque l’intersection des An est contenue dans A0, la monotonie ci-dessus assure que : È +∞ +∞ =È(A0)−È . A0 \ n=0 An n=0 On peut alors appliquer la continuité monotone croissante : È(A0)−È +∞ n=0 An ce qui donne le résultat voulu, à savoir : È +∞ An . n=0 An = lim n→+∞È(Cn) =È(A0)− lim n→+∞È(An), n=0 An = lim n→+∞È(An). Remarque. La propriété d’additivité forte se généralise à un nombre quelconque n d’ensembles et a déjà été rencontrée dans des problèmes de dénombrement : c’est la formule de Poincaré (ou d’inclusion-exclusion, ou du crible). Rappelons-la pour n = 3 : È(A∪B ∪C) =È(A)+È(B)+È(C)−(È(A∩B)+È(A∩C)+È(B ∩C))+È(A∩B ∩C), et de façon générale : È(A1 ∪···∪An) = n (−1) k−1 ⎛ ⎝ k=1 1≤i1
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1.1. Qu’est-ce qu’une probabilité? 5<br />
On peut alors appliquer la σ−additivité :<br />
È<br />
+∞<br />
<br />
+∞<br />
=È<br />
n=0<br />
An<br />
n=0<br />
Bn<br />
<br />
+∞<br />
= ≤<br />
n=0È(Bn)<br />
+∞<br />
n=0È(An),<br />
la dernière inégalité provenant de la propriété de monotonie vue ci-dessus.<br />
– Continuité monotone croissante : on reprend la suite d’ensembles (Bn) comme ci-dessus en<br />
remarquant que pour tout n :<br />
An = B0 ∪B1 ∪···∪Bn.<br />
Il s’ensuit que :<br />
È +∞<br />
n=0<br />
An<br />
<br />
=È +∞<br />
n=0<br />
Bn<br />
<br />
+∞<br />
= = lim<br />
n=0È(Bn)<br />
N→+∞<br />
N<br />
n=0È(Bn) = lim<br />
N→+∞È(AN).<br />
– Continuité monotone décroissante : on considère cette fois la suite d’ensembles (Cn)n≥0 définie<br />
par : Cn = A0 \An. Par la propriété de monotonie on a donc :<br />
La suite (Cn)n≥0 est croissante et :<br />
∀n ≥ 0 È(Cn) =È(A0)−È(An).<br />
+∞ <br />
n=0<br />
Cn = A0 \<br />
+∞<br />
Puisque l’intersection des An est contenue dans A0, la monotonie ci-dessus assure que :<br />
È <br />
+∞<br />
<br />
+∞<br />
<br />
=È(A0)−È<br />
.<br />
A0 \<br />
n=0<br />
An<br />
n=0<br />
On peut alors appliquer la continuité monotone croissante :<br />
<br />
È(A0)−È +∞<br />
n=0<br />
An<br />
ce qui donne le résultat voulu, à savoir :<br />
È +∞<br />
An<br />
<br />
.<br />
n=0<br />
An<br />
= lim<br />
n→+∞È(Cn) =È(A0)− lim<br />
n→+∞È(An),<br />
n=0<br />
An<br />
<br />
= lim<br />
n→+∞È(An).<br />
Remarque. La propriété d’additivité forte se généralise à un nombre quelconque n d’ensembles<br />
et a déjà été rencontrée dans des problèmes de dénombrement : c’est la formule de Poincaré (ou<br />
d’inclusion-exclusion, ou du crible). Rappelons-la pour n = 3 :<br />
È(A∪B ∪C) =È(A)+È(B)+È(C)−(È(A∩B)+È(A∩C)+È(B ∩C))+È(A∩B ∩C),<br />
et de façon générale :<br />
È(A1 ∪···∪An) =<br />
n<br />
(−1) k−1<br />
⎛<br />
⎝ <br />
k=1<br />
1≤i1
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