Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.6. Exercices 85
2. On numérote de 1 à Np les Np votants pour le candidat A. Pour tout k ∈ {1,...,Np}, on
appelle Xk la variable aléatoire qui vaut 1 si l’individu k fait partie de l’échantillon, 0 sinon.
(a) Donner la relation entre X et X1,...,XNp.
(b) Montrer que E[X1] = n/N. En déduire que E[X] = np. Comparer à la moyenne d’une
variable aléatoire distribuée suivant une loi binomiale B(n,p).
3. On tire au hasard et sans remise 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Soit X la variable aléatoire
égale au nombre de rois obtenus. Donner sans calculs la loi et l’espérance de X.
Exercice 2.11 (Espérance d’une loi géométrique)
On rappelle que pour tout x ∈]−1,+1[, on a +∞
n=1 nxn−1 = 1
(1−x) 2 et +∞
n=1 n(n−1)xn−2 = 2
(1−x) 3.
1. On lance un dé équilibré et on appelle X la variable correspondant à la première apparition
du numéro 1. Rappeler la loi de X et calculer E[X].
2. Généralisation : soit X ∼ G(p), que vaut E[X]?
3. On reprend l’exercice sur le gardien de nuit du TD1, lequel a 10 clés pour ouvrir une porte.
Dans le cas où il est ivre et remet chaque clé dans le trousseau après un essai infructueux,
quel est le nombre moyen d’essais nécessaires pour ouvrir la porte?
4. On considère des polygones convexes dont le nombre N de côtés est une variable aléatoire
ayant pour loiÈ(N = n) = 2 2−n pour tout n ≥ 3. Quel est l’espérance du nombre de côtés
du polygone? Quel est l’espérance du nombre de diagonales du polygone?
Exercice 2.12 (Espérance d’une loi de Poisson)
1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ ∈Ê∗ + . Montrer que
E[X] = λ.
2. Toujours pour X ∼ P(λ), on considère alors la variable aléatoire Y = e −X . Calculer E[Y].
3. Un athlète tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1,2,...,n,... Il a le droit à
un seul essai par hauteur, s’il échoue il est éliminé. On suppose que les sauts sont indépendants
les uns des autres et que la probabilité de succès aun-ème saut estrn = 1/n pour toutn ∈Æ∗ .
On note X la variable aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi.
(a) Montrer que ∀n ∈Æ∗ : pn =È(X = n) = n/(n +1)!. Via l’écriture n = (n +1) −1,
vérifier qu’on a bien +∞
n=1 pn = 1.
(b) Montrer que E[X +1] = e. En déduire E[X].
Exercice 2.13 (Espérance d’une loi arithmétique)
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans {0,1,...,n} et telle que ∀k ∈ {0,1,...,n}, pk =
È(X = k) = αk.
1. Déterminer α pour que X soit effectivement une variable aléatoire.
2. On rappelle que n . En déduire E[X].
k=0k2 = n(n+1)(2n+1)
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Exercice 2.14 (Deux dés : somme et différence)
On lance deux dés équilibrés. On note U1 et U2 les variables aléatoires correspondant aux résultats
obtenus.
1. Rappeler la loi de U1, son espérance et sa variance.
2. On appelle X = (U1 +U2) la somme et Y = (U1 −U2) la différence des deux résultats. Que
valent E[X] et E[Y]? Montrer que E[XY] = 0.
3. En déduire que X et Y sont décorrélées. Sont-elles indépendantes ?
Exercice 2.15 (Deux dés : min et max)
On lance deux dés équilibrés. On note U1 et U2 les variables aléatoires correspondant aux résultats
obtenus. On appelle X = min(U1,U2) le minimum et Y = max(U1,U2) le maximum des deux dés.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2