Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

80 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
2.5.5 Loi de Poisson
Par rapport aux sections précédentes, on peine à donner une modélisation vraiment élémentaire
de la loi de Poisson. On verra son interprétation comme loi d’événements rares en fin de section,
mais pour l’instant on se contentera de la définir brutalement.
È(X
∈Æ Définition 2.14 (Loi de Poisson)
On dit que X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, noté X ∼ P(λ), si X est à valeurs dans
Æavec :
∀n = n) = e −λλn
n! .
Figure 2.8 – Lois de Poisson P(2.5) et P(10).
Concernant le mode d’une loi de Poisson, il convient de distinguer deux cas (cf. corrigé de l’exercice
2.23) :
1. si λ /∈Æ∗ , on a un seul mode, atteint pour n égal à la partie entière de λ (voir figure 2.8 à
gauche) :
max = p⌊λ⌋ = e
n∈Æpn −λλ⌊λ⌋
⌊λ⌋! .
2. si λ ∈Æ∗ , il y a cette fois deux modes (voir figure 2.8 à droite) :
max = pλ−1 = pλ = e
n∈Æpn −λλλ
λ! .
∈Ê Rappel. Les calculs sur la loi exponentielle font intervenir le développement en série entière de
l’exponentielle, qu’il convient donc d’avoir en tête :
∀x e x +∞ x
=
n=0
n
n! .
Ceci est en particulier utile pour le calcul des moments.
Proposition 2.13 (Moments d’une loi de Poisson)
Si X suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, alors :
E[X] = λ & Var(X) = λ.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités