Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.5. Lois usuelles 79
Figure 2.7 – Exemples de lois géometriques. A gauche : X ∼ G(1/6). A droite : Y ∼ G(1/2).
Supposons toujours que vous commenciez à lancer votre dé jusqu’à apparition du numéro 5 et
qu’après 3 lancers le 5 ne soit toujours pas apparu. Question : quelle est la loi du nouveau temps
d’attente jusqu’à apparition du 5? Réponse : la même qu’initialement, i.e. une loi géométrique
de paramètre 1/6. Cette propriété,
∈Æ×Æ
dite d’absence de mémoire, est typique de la loi géométrique
(parmi les lois discrètes).
Proposition 2.11 (Absence de mémoire)
Si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors :
∀(m,n) È(X > m+n|X > m) =È(X > n).
Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 2.16.
Remarque. Parmi les lois à densité que nous verrons au chapitre suivant, la loi exponentielle
est la seule à posséder cette propriété. Rien d’étonnant dans cette histoire : de même qu’une suite
géométrique peut être considérée comme la version discrète d’une fonction exponentielle, la loi géométrique
peut être vue comme la discrétisation en temps de la loi exponentielle (voir exercice 3.16).
Les lois géométriques possèdent une autre propriété remarquable, à savoir leur stabilité par minimisation.
La preuve du résultat suivant est donnée dans le corrigé de l’exercice 2.17.
Proposition 2.12 (Minimum de lois géométriques)
Soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois géométriques de paramètres respectifs
p1,...,pn, avec pi ∈]0,1[ pour tout i ∈ {1,...,n}. Alors la variable aléatoire X = min(X1,...,Xn)
suit elle-même une loi géométrique, plus précisément
X = min(X1,...,Xn) ∼ G(1−(1−p1)...(1−pn)).
Le paramètre de cette loi géométrique est clair : notons E1,...,En des événements indépendants
de probabilités p1,...,pn. La probabilité qu’au moins l’un d’entre eux se réalise est égale à
et grâce à l’indépendance :
p =È(E1 ∪···∪En) = 1−È(E1 ∪···∪En) = 1−È(E1 ∩···∩E1),
p = 1−È(E1)...È(En) = 1−(1−È(E1))...(1−È(En)) = 1−(1−p1)...(1−pn).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2