Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.5. Lois usuelles 77
Exemple. On lance n fois de suite une pièce déséquilibrée dont la probabilité d’apparition de Pile
à chaque lancer est p. En notant X la somme des résultats Xi obtenus (Face valant 0 et Pile valant
1 comme ci-dessus), X représente donc simplement le nombre de Pile sur les n lancers et on a
X ∼ B(n,p).
Proposition 2.9 (Moments d’une loi binomiale)
Si X suit une loi binomiale de paramètres (n,p), alors :
E[X] = np & Var(X) = np(1−p) = npq.
Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous
les cas et la variance l’est ici puisque les variables X1,...,Xn sont indépendantes. La propriété
suivante découle d’ailleurs du même raisonnement :
X ∼ B(n,p)
Y ∼ B(m,p)
X ⊥ Y
⎫
⎬
⎭
⇒ X +Y ∼ B(n+m,p).
Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit
elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9).
Figure 2.6 – Exemples de lois binomiales. A gauche : X ∼ B(10,1/2). A droite : Y ∼ B(90,1/6).
Exemples :
1. On lance 10 fois de suite une pièce équilibrée et on note X le nombre de Pile obtenus. On
a vu que X ∼ B(10,1/2). Le nombre moyen de Pile est donc naturellement E[X] = 5 et
l’écart-type vaut σ(X) = √ 2.5. La loi de X est illustrée figure 2.6 à gauche.
2. On lance 90 fois de suite un dé non pipé et on note Y le nombre de 4 obtenus. Dans ce cas
Y ∼ B(90,1/6). Le nombre moyen de 4 est doncE[Y] = 15 et l’écart-type vautσ(Y) = √ 12.5.
La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi
on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3).
2.5.4 Loi géométrique
La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement.
Définition 2.13 (Loi géométrique)
On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0,1[, noté X ∼ G(p), si X est à valeurs
dansÆ∗ avec :
∀n ∈Æ∗ È(X = n) = p(1−p) n−1 = pq n−1 .
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2