Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

76 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Remarque. Plus généralement, la variable X suit une loi de Bernoulli de paramètre p sur {a,b} si
P(X = a) = q = 1−p et P(X = b) = p. Lorsque a = −1 et b = +1, on parle de loi de Rademacher
de paramètre p, noté X ∼ R(p). Par exemple, la variable X valant +1 si le résultat du lancer d’un
dé équilibré est pair, −1 sinon, suit une loi de Rademacher R(1/2).
Proposition 2.7 (Moments d’une loi de Bernoulli)
Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors :
Preuve. Laissée au lecteur.
Remarques :
E[X] = p & Var(X) = p(1−p).
1. Dans le cas général où X suit une loi de Bernoulli de paramètre p sur {a,b}, nous avons
E[X] = a+p(b−a) et Var(X) = p(1−p)(b−a) 2 .
2. L’étude de la fonction p ↦→ p(1−p) sur ]0,1[ montre que, parmi les lois de Bernoulli, celle
ayant le plus de variance est celle de paramètre p = 1
2 .
Les variables de Bernoulli sont souvent à la base de constructions plus sophistiquées : lois binomiales,
lois géométriques, marche aléatoire sur, etc. Ce sont d’ailleurs pour des variables de
Bernoulli indépendantes et identiquement distribuées (en abrégé i.i.d.) qu’ont été établies les premières
versions des deux grands théorèmes des probabilités : la Loi des Grands Nombres et le
Théorème Central Limite.
2.5.3 Loi binomiale
La loi binomiale doit son nom aux coefficients binomiaux intervenant dans sa définition.
Définition 2.12 (Loi binomiale)
On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈Æ∗ et p ∈]0,1[, noté X ∼ B(n,p), si X est
à valeurs dans {0,1,...,n} avec :
n
∀k ∈ {0,1,...,n} È(X = k) = p
k
k q n−k .
où q = (1−p) est introduit afin d’alléger (un peu) les notations.
La formule du binôme de Newton permet de vérifier qu’on définit bien ainsi une loi de probabilité :
n
k=0
n
p
k
k q n−k = (p+q) n = 1.
Commençons par donner une façon naturelle de construire une loi binomiale B(n,p) à partir d’une
loi de Bernoulli B(p).
Proposition 2.8 (Lien Bernoulli-Binomiale)
Soit X1,...,Xn n variables indépendantes suivant la même loi de Bernoulli B(p), alors la variable
X = X1 +···+Xn suit une loi binomiale B(n,p).
Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 2.9.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités