Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

4 Chapitre 1. Espaces probabilisés
– Continuité monotone décroissante : si (An)n∈Æest une suite d’événements décroissante pour
l’inclusion (figure 1.3), alors :
È
+∞
An = lim
n→∞È(An).
n=0
Preuve.
– Monotonie : il suffit d’appliquer la σ−additivité avec A0 = A, A1 = B \A et An = ∅ pour tout
n ≥ 2. Ceci donne : È(B) =È(A)+È(B \A),
et puisqueÈ(B \A) ≥ 0, on a bienÈ(A) ≤È(B).
– Additivité forte : on décompose de façon disjointe
d’où il vient par σ−additivité :
A∪B = (A\(A∩B))∪(A∩B)∪(B \(A∩B)),
È(A∪B) =È(A\(A∩B))+È(A∩B)+È(B \(A∩B)),
et on peut utiliser la propriété précédente :
È(A∪B) =È(A)−È(A∩B)+È(A∩B)+È(B)−È(A∩B) =È(A)+È(B)−È(A∩B),
qui aboutit bien à : È(A)+È(B) =È(A∪B)+È(A∩B).
+∞
n=0 An
Figure 1.2 – Suite d’ensembles croissante pour l’inclusion.
– Sous-additivité dénombrable : on construit la suite d’ensembles (Bn) comme suit : B0 = A0 et
pour tout n ≥ 1 :
n−1
Bn = An \
.
Il est clair que les Bn sont deux à deux disjoints, que Bn ⊆ An pour tout n, et que :
A2
A1
A0
k=0
+∞ +∞
An =
n=0
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
n=0
Ak
Bn.
Ω