Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.5. Lois usuelles 75
laquelle se prouve en développant successivement (1+1) 3 ,...,(n+1) 3 , en sommant le tout et en
simplifiant. Pour ce qui nous concerne, elle s’applique comme suit :
d’où :
E[X 2 ] =
n
k=1
k 2
n
= 1
n
n
k=1
Var(X) = E[X 2 ]−E[X] 2 = (n+1)(2n+1)
6
k 2 = (n+1)(2n+1)
,
6
n+1
−
2
2
= n2 −1
12 .
Exemple. Pour le lancer d’un dé équilibré où X ∼ U {1,...,6}, on a ainsi E[X] = 3,5 (milieu de
l’intervalle [1,6]) et Var(X) = 35
12
représentée figure 2.5.
1
1/6
donc σ(X) =
35
12
1 2 3 4 5
≈ 1,7. La fonction de répartition de X est
Figure 2.5 – Fonction de répartition d’une loi uniforme U {1,...,6}.
Remarque. Il va de soi que ces formules ne sont plus valables lorsque X suit une loi uniforme sur
l’ensemble {a1,...,an}. Dans ce cas général, on n’a rien de mieux que les définitions de l’espérance
et de la variance :
E[X] = 1
n
n
k=1
ak & Var(X) = 1
n
Par exemple, la variable X valant +1 si le résultat du lancer d’un dé équilibré est pair, −1 sinon,
a pour moyenne 0 et pour variance 1.
2.5.2 Loi de Bernoulli
6
n
k=1
a 2 k −
On parle de loi de Bernoulli lorsque la variable d’intérêt est binaire.
Définition 2.11 (Loi de Bernoulli)
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0,1[, noté X ∼ B(p), si X ne peut prendre
que les valeurs 0 et 1, avecÈ(X = 1) = p etÈ(X = 0) = 1−p = q.
Exemple. On lance une pièce déséquilibrée dont la probabilité d’apparition de Pile est 3/4. En
notant X la variable aléatoire valant 0 pour Face et 1 pour Pile, on a donc X ∼ B(3/4).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
1
n
n
k=1
ak
2
.