Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

74 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
2.5.1 Loi uniforme
On parle de loi uniforme dès lors qu’il y a équiprobabilité pour les valeurs prises par la variable
aléatoire.
Définition 2.10 (Loi uniforme)
On dit que X suit une loi uniforme sur l’ensemble {1,...,n}, noté X ∼ U {1,...,n}, si :
∀k ∈ {1,...,n} È(X = k) = 1
n .
Exemple. On lance un dé équilibré et on note X le résultat obtenu. On a alors X ∼ U {1,...,6} (voir
figure 2.4 à gauche).
Remarque. On parle plus généralement de loi uniforme sur l’ensemble {a1,...,an} si :
∀k ∈ {1,...,n} È(X = ak) = 1
n .
Par exemple, la variable X valant +1 si le résultat du lancer d’un dé équilibré est pair, −1 sinon,
suit une loi uniforme sur {−1,+1} (voir figure 2.4 à droite).
1
6
1 2 3 4 5 6 −1 0 1
=
1
2
=
E[X] E[X]
Figure 2.4 – A gauche : loi uniforme U {1,...,6}. A droite : loi uniforme U {−1,+1}.
Proposition 2.6 (Moments d’une loi uniforme)
Si X suit une loi uniforme sur l’ensemble {1,...,n}, alors :
E[X] = n+1
2
& Var(X) = n2 −1
12 .
Preuve. Pour l’espérance, elle est basée sur la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique
:
n
1+···+n = k = n(n+1)
.
2
k=1
Pour plus de détails, se reporter au corrigé de l’exercice 2.7. Pour la variance, on se sert de la
formule de la somme des carrés :
1 2 +···+n 2 n
= k 2 = n(n+1)(2n+1)
,
6
k=1
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités