Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.5. Lois usuelles 73
Concrètement, deux variables sont indépendantes si la valeur prise par l’une n’a aucune espèce
d’influence sur la valeur prise par l’autre. La notion d’indépendance est omniprésente en probabilités.
Un exemple parmi tant d’autres est celui du lancer simultané de deux dés : il est clair que
le résultat X donné par l’un est indépendant du résultat Y donné par l’autre. Voyons maintenant
en quoi la notion d’indépendance est plus forte que celle de décorrélation.
Proposition 2.5 (Indépendance ⇒ Décorrélation)
Soit X et Y variables aléatoires discrètes admettant des moments d’ordre 2. Si X et Y sont
indépendantes, alors elles sont décorrélées. En particulier, on a alors :
Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y).
Preuve. L’équivalent du théorème de transfert pour les couples de variables aléatoires permet
d’écrire l’espérance de XY de la façon suivante :
E[XY] =
xiyjpij,
(i,j)∈I×J
où pij =È(X = xi,Y = yj) pour tout couple (i,j) ∈ I × J. En notant pi =È(X = xi) et
qj =È(Y = yj), l’indépendance des deux variables donne alors pij = piqj et :
E[XY] =
xiyjpij =
⎛ ⎝
⎞
⎠,
(i,j)∈I×J
i∈I
xipi
autrement dit E[XY] = E[X]E[Y], ou encore Cov(X,Y) = 0.
Remarque. La réciproque est fausse en général. Pour s’en assurer il suffit de reprendre l’exemple
où X est uniforme sur {−1,0,+1} et Y = X2 . On a vu que Cov(X,Y) = 0, c’est-à-dire que X et
Y sont décorrélées. Mais elles ne sont pas indépendantes, puisqu’il suffit par exemple de remarquer
que :
È(X = 0,Y = 0) =È(X = 0) = 1 1
=
3 9 =È(X = 0)È(Y = 0).
Généralisation. L’indépendance entre variables aléatoires se généralise de façon naturelle à plus
de deux variables : n variables X1,...,Xn sont (mutuellement) indépendantes si la valeur prise
par l’une n’a aucune influence sur les valeurs prises par les autres :
∀(x1,...,xn) ∈ X1 ×···×Xn È(X1 = x1,...,Xn = xn) =È(X1 = x1)...È(Xn = xn).
La variance de la somme sera alors encore la somme des variances :
tandis que dans le cas général on a :
2.5 Lois usuelles
j∈J
yjqj
Var(X1 +···+Xn) = Var(X1)+···+Var(Xn),
Var(X1 +···+Xn) =
n
Var(Xi)+2
i=1
1≤j