Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

72 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Proposition 2.4 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit X et Y variables aléatoires discrètes admettant des moments d’ordre 2, alors :
avec plus précisément :
−1 ≤ ρ(X,Y) ≤ +1,
1. ρ(X,Y) = −1 ssi ∃(a,b) ∈Ê∗ − ×Êtels que Y = aX +b;
2. ρ(X,Y) = +1 ssi ∃(a,b) ∈Ê∗ + ×Êtels que Y = aX +b.
Preuve. La démonstration la plus expéditive de ce résultat est basée sur une ruse de sioux. Comme
toute variable aléatoire, la variable (tX +Y) est de variance positive, et ce quel que soit le réel t,
ce qui s’écrit encore :
0 ≤ Var(tX +Y) = Var(tX)+2Cov(tX,Y)+Var(Y) = t 2 Var(X)+2Cov(X,Y)t+Var(Y),
que l’on peut voir comme un trinôme en t. Or un trinôme n’est de signe constant que si son
discriminant est inférieur ou égal à 0, c’est-à-dire :
Cov(X,Y) 2 −Var(X)Var(Y) ≤ 0 ⇐⇒ |ρ(X,Y)| ≤ 1.
Supposons ρ(X,Y) = +1, alors en remontant les équations ceci implique qu’il existe un réel t0 tel
que Var(t0X +Y) = 0, donc il existe un réel b tel que t0X +Y = b, c’est-à-dire Y = −t0X +b.
Dans ce cas
ρ(X,Y) = Cov(X,−t0X +b)
σ(X)σ(−t0X +b)
= −t0
|t0| ,
qui vaut 1 si et seulement si t0 est négatif. Le même raisonnement permet de conclure lorsque
ρ(X,Y) = −1.
Remarque. L’inégalité |Cov(X,Y)| ≤ σ(X)σ(Y) n’est rien de plus que l’inégalité de Cauchy-
Schwarz adaptée au cadre des variables aléatoires. Sa version géométrique dansÊn muni du produit
scalaire usuel et de la norme euclidienne est : pour tous vecteurs u et v deÊn , 〈u,v〉 ≤ uv.
Le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires est donc équivalent au cosinus de l’angle
entre deux vecteurs.
Interprétation. De façon générale, plus le coefficient de corrélation est proche de 1 en valeur
absolue, plus les variables X et Y sont linéairement liées. Un coefficient de corrélation nul signifie
donc que les deux variables ne sont pas linéairement liées. Il n’empêche qu’elle peuvent être liées
par un autre type de relation : c’est ce qui apparaît clairement sur l’exemple ci-dessus où Y = X 2 ,
puisqu’une fois X connue, il n’existe plus aucune incertitude sur Y .
Face à ce constat, on aimerait définir le fait qu’il n’existe aucune sorte de relation entre X et Y .
La notion pertinente est alors celle d’indépendance, déjà rencontrée dans le premier chapitre et
adaptée ici au cas des variables aléatoires.
Définition 2.9 (Indépendance de deux variables)
Soit X et Y variables aléatoires discrètes à valeurs respectives dans X = (xi)i∈I et Y = (yj)j∈J.
On dit que X et Y sont indépendantes, noté X ⊥ Y , si :
∀(i,j) ∈ I ×J È(X = xi,Y = yj) =È(X = xi)È(Y = yj).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités