Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.4. Corrélation et indépendance 71
On peut alors donner plusieurs propriétés de la covariance.
Propriétés 2.4 (Quelques formules sur la covariance)
Soit X et Y variables aléatoires discrètes admettant des moments d’ordre 2. Alors :
1. Cov(X,Y) = Cov(Y,X).
2. Cov(X,X) = Var(X).
3. pour tous réels a,b,c,d : Cov(aX +b,cY +d) = ac Cov(XY).
4. Var(X +Y) = Var(X)+2Cov(X,Y)+Var(Y).
Preuve. Les deux premiers points sont évidents. Le troisième s’obtient en appliquant la définition
de la covariance et en utilisant la linéarité de l’espérance. Détaillons uniquement le dernier :
Var(X+Y) = E[(X+Y) 2 ]−(E[X+Y]) 2 = E[X 2 ]+2E[XY]+E[Y 2 ]−(E[X] 2 +2E[X]E[Y]+E[Y] 2 ),
et il suffit de bien regrouper les termes :
Var(X +Y) = (E[X 2 ]−E[X] 2 )+2(E[XY]−E[X]E[Y])+(E[Y 2 ]−E[Y] 2 )
pour arriver à la formule voulue.
Cette démonstration montre que la dernière formule est bien sûr liée à l’identité remarquable vue
dans les petites classes : (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 . Elle souligne en particulier que, dans le cas
général, la variance n’est pas linéaire puisqu’on n’a pas Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y). Nous
allons maintenant préciser ce point.
Définition 2.8 (Coefficient de corrélation)
Soit X et Y variables aléatoires discrètes admettant des variances non nulles. Le coefficient de
corrélation entre X et Y est défini par :
ρ(X,Y) = Cov(X,Y)
σ(X)σ(Y) .
Si ρ(X,Y) = Cov(X,Y) = 0, X et Y sont dites décorrélées, ce qui est équivalent à dire que :
Var(X +Y) = Var(X)+Var(Y).
Exemple. Soit X qui suit une loi uniforme sur {−1,0,+1} et Y définie par Y = X 2 . Alors par le
théorème de transfert :
E[XY] = E[X 3 ] = (−1) 3 × 1
3 +03 × 1
3 +13 × 1
= 0.
3
Un calcul similaire montre que E[X] = 0, donc sans même calculer E[Y], on a aussi E[X]E[Y] = 0.
Il s’ensuit que :
Cov(X,Y) = E[XY]−E[X]E[Y] = 0,
c’est-à-dire que X et Y sont décorrélées.
Le coefficient de corrélation est aussi appelé coefficient de corrélation linéaire, car il mesure en
fait la linéarité entre les deux variables X et Y . C’est ce qu’explique le résultat suivant.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2