Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.3. Moments d’une variable discrète 69
Ainsi l’espérance de X est le moment d’ordre 1 et sa variance le moment centré d’ordre 2. Précisons
au passage un point de vocabulaire : on dit que X est une variable centrée si E[X] = 0 et qu’elle
est réduite si Var[X] = 1. Si X admet une variance non nulle, on dit qu’on centre et réduit X en
considérant la variable Y = (X −E[X])/σ(X).
Proposition 2.3
Soit X une variable aléatoire discrète, alors si X admet un moment d’ordre m ∈Æ∗ , X admet des
moments de tout ordre n ∈ {1,...,m}.
Preuve. Effectuons une partition de l’ensemble I d’indices en deux sous-ensembles E0 et E1 :
E0 = {i ∈ I : |xi| ≤ 1}
E1 = {i ∈ I : |xi| > 1}
Soit maintenant n ∈ {1,...,m}, il nous faut montrer la convergence de la série
i∈I |xi| npi, or :
∀i ∈ I |xi| n
1 si i ∈ E0
≤
|xi| m si i ∈ E1
D’où il sort que :
i∈I
et il suit :
|xi| n pi =
|xi| n pi +
|xi| n pi ≤
i∈I
donc l’affaire est entendue.
i∈E0
|xi| n pi ≤
i∈I
pi +
i∈I
i∈E1
i∈E0
pi +
|xi| m pi,
i∈E1
|xi| m pi = 1+E[|X| m ] < +∞,
L’existence d’un moment d’ordre élevé assure une décroissance d’autant plus rapide de la queue
de la distribution de X à l’infini, comme le montre l’inégalité de Markov. On peut la voir comme
une généralisation de l’inégalité de Tchebychev.
Théorème 2.3 (Inégalité de Markov)
Soit X une variable aléatoire discrète, alors si X admet un moment d’ordre m ∈Æ∗ , on a :
∀t > 0 È(|X| ≥ t) ≤ E[|X|m ]
.
tm Preuve. Reprenons l’idée de la preuve ci-dessus, avec cette fois :
E0 = {i ∈ I : |xi| < t}
E1 = {i ∈ I : |xi| ≥ t}
Remarquons d’emblée queÈ(|X| ≥ t) =
i∈E1 pi, d’où l’idée de la décomposition :
E[|X| m ] =
|xi| m pi +
|xi| m pi ≥
|xi| m pi,
i∈E0
or pour tout i ∈ E1, |xi| m ≥ t m , donc :
E[|X| m
m
] ≥ t
i∈E1
i∈E1
i∈E1
pi = t mÈ(|X| ≥ t).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2