Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

68 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
qui s’écrit encore :
E[X(X −1)] = e −1
+∞
n=2
1
(n−2)!
= e−1
+∞
n=0
1
n! = e−1 e = 1,
d’où l’on déduit que E[X 2 ] = E[X(X − 1)] + E[X] = 1 + 1 = 2 et Var(X) = E[X 2 ] − E[X] 2 =
2 − 1 = 1. Ainsi une variable qui suit une loi de Poisson de paramètre 1 a pour variance 1. On
montrera plus généralement que si X ∼ P(λ), alors E[X] = Var(X) = λ.
Nous avons dit plus haut que l’écart-type permet d’avoir une idée de l’écart typique entre une
variable aléatoire et sa moyenne. Cette idée est précisée par la célèbre inégalité de Tchebychev,
également appelée inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Théorème 2.2 (Inégalité de Tchebychev)
Soit X une variable aléatoire discrète admettant une variance, alors :
∀t > 0 È(|X −E[X]| ≥ t) ≤ Var(X)
t 2 .
Preuve. Puisqu’on peut voir cette inégalité comme un cas particulier de l’inégalité de Markov,
nous donnerons sa preuve en section suivante.
Interprétation. Si on pose t = sσ(X), l’inégalité de Tchebychev se réécrit pour tout s > 0 :
È(|X −E[X]| ≥ sσ(X)) ≤ 1
s 2.
Si on voit l’écart-type σ(X) comme une unité d’écart, ceci dit que la probabilité qu’une variable
s’éloigne de plus de s unités d’écart de sa moyenne est inférieure à 1
s 2.
L’aspect remarquable de l’inégalité de Tchebychev est son universalité, puisqu’elle est vérifiée quelle
que soit la loi de la variable X (si tant est bien sûr que celle-ci admette une variance). Le prix
à payer est qu’elle ne donne souvent en pratique que de médiocres majorations de la queue de
distribution. Elle prend néanmoins toute sa puissance pour prouver des résultats généraux, c’est
par exemple la méthode typique de démonstration de la loi faible des grands nombres.
Exemple. Une application de l’inégalité de Tchebychev est donnée en exercice 2.21.
2.3.3 Autres moments
On va maintenant généraliser les notions d’espérance et de variance.
Définition 2.6
Soit X une variable aléatoire discrète et m ∈Æ∗ . Sous réserve d’existence, on appelle :
(i) moment d’ordre m de X la quantité
E[X m ] =
(ii) moment centré d’ordre m de X la quantité
i∈I
x m i pi ;
E[(X −E[X]) m ] =
(xi −E[X]) m pi.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
i∈I