Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.3. Moments d’une variable discrète 67
Il existe une autre formulation de la variance, qui permet éventuellement d’alléger les calculs : elle
est connue sous le nom de formule de König, ou de Huygens-König, par analogie avec la formule
de l’énergie cinétique d’un système en mécanique. C’est le premier point des propriétés suivantes.
Propriétés 2.3 (Propriétés de la variance)
Soit X une variable aléatoire discrète, alors sous réserve d’existence de sa variance on a :
(i) Var(X) = E[X 2 ]−E[X] 2 .
(ii) Si a et b sont deux réels, Var(aX +b) = a 2 Var(X).
(iii) Var(X) = 0 si et seulement si X est constante.
Preuve.
(i) Il suffit d’utiliser la linéarité de l’espérance :
Var(X) = E[(X −E[X]) 2 ] = E[X 2 −2E[X]X +E[X] 2 ] = E[X 2 ]−2E[E[X]X]+E[E[X] 2 ],
or E[X] est une quantité déterministe (i.e. non aléatoire) donc il suffit d’appliquer les propriétés
vues en Proposition 2.1 :
Var(X) = E[X 2 ]−2E[X]E[X]+E[X] 2 = E[X 2 ]−E[X] 2 .
(ii) On applique à nouveau la linéarité de l’espérance :
Var(aX +b) = E[(aX +b−E[aX +b]) 2 ] = E[(aX +b−(aE[X]+b)) 2 ] = E[(aX −aE[X]) 2 ],
d’où :
Var(aX +b) = E[(a(X −E[X])) 2 ] = E[a 2 (X −E[X]) 2 ] = a 2 E[(X −E[X]) 2 ] = a 2 Var(X).
(iii) On rappelle que la variable discrète X prend les valeurs xi avec les probabilités strictement
positives pi. Supposons X de variance nulle :
i∈I
(xi −E[X]) 2 pi = 0,
ainsi on a une série de termes positifs dont la somme est nulle, ce qui n’est possible que si tous
les termes sont nuls, c’est-à-dire si :
∀i ∈ I (xi −E[X]) 2 pi = 0 ⇔ xi = E[X],
la dernière équivalence venant de ce que les pi sont tous supposés strictement positifs. Ainsi la
seule valeur que prend X est sa moyenne, autrement dit cette variable aléatoire est constante
(autant dire qu’elle n’a pas grand-chose d’aléatoire...). La réciproque est clairement vraie : si
X(ω) = x0 pour tout ω ∈ Ω, alors on vérifie aisément que X admet une espérance et que celle-ci
vaut bien sûr E[X] = x0, et par suite que la variance est nulle.
Si on connaît E[X], il suffit d’après le point (i) de calculer E[X 2 ] pour obtenir la variance de X.
Ceci peut parfois se faire simplement en remarquant que X 2 = X(X −1)+X, d’où il découle que
E[X 2 ] = E[X(X −1)]+E[X]. Illustrons-le sur un exemple.
Exemple : Loi de Poisson. Revenons sur l’exemple où X ∼ P(1), loi de Poisson de paramètre
1. Nous avons montré que E[X] = 1, que vaut sa variance? Puisqu’on connaît E[X], on se contente
de calculer E[X(X −1)], ce qui donne grâce au théorème de transfert :
E[X(X −1)] =
+∞
n=0
n(n−1) e−1
n!
= e−1
+∞
n=0
n(n−1)
n!
= e −1
+∞
n=2
n(n−1)
,
n!
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2