Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

66 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Preuve. Par définition, la variable aléatoire X admet une espérance si et seulement si la série
i∈I xipi est absolument convergente, c’est-à-dire si et seulement si la série
i∈I |xi|pi est conver-
gente. Or |X| est la variable aléatoire prenant les valeurs (|xi|i∈I) avec les probabilités (pi)i∈I.
Donc elle admet une espérance si et seulement si la série
i∈I |xi|pi est (absolument) convergente.
L’équivalence entre l’existence de E[X] et celle de E[|X|] est donc claire. Si cette existence est
assurée, il suffit alors de remarquer que :
∀ω ∈ Ω X(ω) ≤ |X(ω)|
et d’appliquer la propriété de positivité de l’espérance pour en déduire que E[X] ≤ E[|X|].
Remarque. Le raisonnement ci-dessus montre de façon plus générale que si |X| ≤ Y et si Y admet
une espérance, alorsX aussi etE[X] ≤ E[Y]. Ce passage par un majorant est aussi d’usage constant
en analyse, pour justifier la convergence de séries numériques et celle d’intégrales généralisées.
2.3.2 Variance
Nous avons dit que l’espérance est une mesure de tendance centrale. Nous allons définir maintenant
une mesure de dispersion autour de cette valeur centrale : la variance.
Définition 2.5 (Variance & Ecart-type)
Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance E[X]. La variance de X est définie
par :
Var(X) = E[(X −E[X]) 2 ] =
(xi −E[X]) 2 pi,
sous réserve de convergence de cette série. On appelle alors écart-type, noté σ(X), la racine de la
variance : σ(X) = Var(X).
Puisque la série
i∈I (xi −E[X]) 2pi est à termes positifs, absolue convergence équivaut à convergence.
A nouveau, lorsque X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, la variance est toujours définie.
Interprétation. De façon générale, la variance d’une variable mesure la moyenne des carrés
des écarts à sa moyenne. Ainsi, plus la loi d’une variable est étalée autour de sa moyenne,
plus sa variance est grande. D’autre part, si X représente une grandeur physique (donc ayant une
dimension, par exemple une durée), alors l’écart-type a la même dimension que X, tandis que la
variance a cette dimension au carré, ce qui la rend moins parlante en pratique. Le terme écart-type
est d’ailleurs à comprendre au sens “écart typique” d’une variable à sa moyenne. Nous y reviendrons
plus loin.
Exemples :
1. Lancer d’un dé : nous avons vu que E[X] = 0, sa variance vaut :
i∈I
Var(X) = (−1−0) 2 × 1
2 +(1−0)2 × 1
= 1.
2
2. Lancer de deux dés : l’espérance de la somme X des deux dés est E[X] = 7 et sa variance
est :
Var[X] = (2−7) 2È(X = 2)+···+(12−7) 2È(X = 12) = ...(petit calcul)··· = 35
6 ,
et son écart-type vaut donc σ(X) =
35
6
≈ 2,4.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités