Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2 Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
2 Chapitre 1. Espaces probabilisés Définition 1.1 (Tribu) Soit Ω un univers et F un sous-ensemble de parties de Ω, i.e. F ⊆ P(Ω). On dit que F est une tribu, ou une σ-algèbre, si elle vérifie les 3 conditions suivantes : (i) Ω ∈ F ; (ii) si A appartient à F, alors son complémentaire A (encore noté A c ) appartient aussi à F ; (iii) si (An)n∈Æest une suite de F, alors +∞ n=0 An appartient à F. On appelle dès lors événements les éléments de la tribu F. Rappelons que si A est un événement, alors A = Ω \ A est l’événement contraire de A. Par ailleurs, dire que l’événement +∞ n=0An se réalise signifie que l’un au moins des événements An se réalise : ω ∈ +∞ n=0 An ⇔ ∃n ∈Æ:ω ∈ An. On vérifie sans problème à partir des trois axiomes ci-dessus que toute tribu F contient l’ensemble vide ∅, est stable par union finie, intersection finie ou dénombrable. Ainsi, on retiendra qu’une tribu est stable par combinaisons au plus dénombrables d’opérations usuelles sur les ensembles, bref par toutes les manipulations classiques. Exemples. Voici trois exemples classiques de tribus : – La tribu triviale : F = {∅,Ω}. – La tribu engendrée par une partie A de Ω : F = {∅,A,A,Ω}. – La tribu pleine : F = P(Ω). En pratique, lorsque Ω est fini ou dénombrable, on considère en général la tribu pleine P(Ω). C’est le cas par exemple si Ω = {1,2,3,4,5,6}, ensemble des résultats possibles du lancer d’un dé, ou si Ω =Æ∗ , date d’apparition du premier Pile dans une succession de lancers d’une pièce (lorsqu’on exclut le cas improbable où Pile n’apparaît jamais). Si Ω n’est pas dénombrable, comme c’est le cas dans l’exemple d’une suite infinie de lancers (Ω = {0,1}Æ∗ ), on ne considérera pas la tribu F = P(Ω), mais une tribu plus petite. 1.1.2 Probabilité Une fois fixés un univers Ω et une tribu F de Ω, on peut définir proprement ce qu’est une probabilité sur (Ω,F). Un point de vocabulaire auparavant : on dit que deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si A∩B = ∅, et on dit que (An)n≥0 est une suite d’événements deux à deux incompatibles si pour tout couple d’indices distincts (i,j), on a Ai ∩Aj = ∅. Définition 1.2 (Probabilité) On appelle probabilité sur la tribu F de Ω toute applicationÈ:F → [0,1] telle que (i)È(Ω) = 1; (ii) σ-additivité : si (An)n≥0 est une suite d’événements deux à deux incompatibles de F, alors : È +∞ n=0 An On dit alors que (Ω,F,È) est un espace probabilisé. = +∞ n=0È(An). Exemple. Reprenons l’exemple du lancer de dé. On a vu que l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6} et qu’on le munit de la tribu F = P(Ω). On vérifie alors que l’applicationÈ:F → [0,1] qui à A ∈ F Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
1.1. Qu’est-ce qu’une probabilité? 3 associeÈ(A) = #A/6 est une probabilité sur F, où la notation #A signifie “cardinal de l’ensemble A”. Généralisation : équiprobabilité sur un univers fini. Dès qu’on considère un univers Ω de cardinal fini sur lequel tout événement élémentaire ω a la même chance d’apparition, on le munira généralement de la même probabilitéÈque pour le lancer de dé, appelée équiprobabilité. C’est-à-dire que pour tout événement A, on aura : È(A) = #A #Ω . Nous allons maintenant énoncer diverses propriétés d’une probabilité qui nous seront utiles dans la suite du cours. Rappelons au passage la définition de la soustraction ensembliste “\” (figure 1.1) : B \A = B ∩A. A B \ A Figure 1.1 – Soustraction ensembliste : B \A = B ∩A. Propriétés 1.1 (Propriétés d’une probabilité) Soit (Ω,F,È) un espace probabilisé. Tous les ensembles considérés sont supposés appartenir à F. – Monotonie : si A ⊆ B, alorsÈ(A) ≤È(B). Plus précisément : È(B) =È(A)+È(B \A). – Additivité forte : È(A)+È(B) =È(A∪B)+È(A∩B). – Sous−σ−additivité : È +∞ n=0 An ≤ +∞ B n=0È(An). – Continuité monotone croissante : si (An)n∈Æest une suite d’événements croissante pour l’inclusion (figure 1.2), alors : È +∞ n=0 An = lim n→∞È(An). Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2 Ω
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1.1. Qu’est-ce qu’une probabilité? 3<br />
associeÈ(A) = #A/6 est une probabilité sur F, où la notation #A signifie “cardinal de l’ensemble<br />
A”.<br />
Généralisation : équiprobabilité sur un univers fini. Dès qu’on considère un univers Ω<br />
de cardinal fini sur lequel tout événement élémentaire ω a la même chance d’apparition, on le<br />
munira généralement de la même probabilitéÈque pour le lancer de dé, appelée équiprobabilité.<br />
C’est-à-dire que pour tout événement A, on aura :<br />
È(A) = #A<br />
#Ω .<br />
Nous allons maintenant énoncer diverses propriétés d’une probabilité qui nous seront utiles dans la<br />
suite du cours. Rappelons au passage la définition de la soustraction ensembliste “\” (figure 1.1) :<br />
B \A = B ∩A.<br />
A<br />
B \ A<br />
Figure 1.1 – Soustraction ensembliste : B \A = B ∩A.<br />
Propriétés 1.1 (Propriétés d’une probabilité)<br />
Soit (Ω,F,È) un espace probabilisé. Tous les ensembles considérés sont supposés appartenir à F.<br />
– Monotonie : si A ⊆ B, alorsÈ(A) ≤È(B). Plus précisément :<br />
È(B) =È(A)+È(B \A).<br />
– Additivité forte : È(A)+È(B) =È(A∪B)+È(A∩B).<br />
– Sous−σ−additivité : È +∞<br />
n=0<br />
An<br />
<br />
≤<br />
+∞<br />
B<br />
n=0È(An).<br />
– Continuité monotone croissante : si (An)n∈Æest une suite d’événements croissante pour l’inclusion<br />
(figure 1.2), alors :<br />
È<br />
+∞<br />
<br />
n=0<br />
An<br />
= lim<br />
n→∞È(An).<br />
<strong>Probabilités</strong> Arnaud Guyader - <strong>Rennes</strong> 2<br />
Ω
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