Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.3. Moments d’une variable discrète 65
que l’on peut casser en deux morceaux puisque zk = xi +yj :
E[Z] =
(i,j)∈I×J
(xi +yj)pij =
(i,j)∈I×J
xipij +
(i,j)∈I×J
yjpij,
et l’idée est de regrouper différemment les indices de sommation dans chacune des deux sommes :
E[Z] =
⎛
⎝
⎞
⎠+
,
i∈I
or on reconnaît les pi dans la première somme et les qj dans la seconde :
xi
j∈J
pij
j∈J
yj
i∈I
pij
E[Z] =
xipi +
yjqj = E[X]+E[Y].
i∈I
j∈J
Précisons que toutes les opérations effectuées sur les sommes sont légitimes en raison de l’absolue
convergence des deux séries xipi et yjqj. Pour achever la preuve de la proposition, il reste à
vérifier que, pour tout réel b, on a E[b] = b. Or b est la variable aléatoire qui prend la seule valeur
b avec probabilité 1, donc E[b] = b×1 = b.
En termes d’algèbre linéaire, ce résultat dit la chose suivante : l’ensemble des variables aléatoires
discrètes admettant une espérance est un sous-espace de l’espace des variables aléatoires discrètes
et l’espérance est une forme linéaire sur ce sous-espace. Le résultat suivant montre que c’est même
une forme linéaire positive.
Proposition 2.2 (Positivité de l’espérance)
Soit X et Y deux variables aléatoires admettant une espérance et telles que X ≤ Y , alors :
E[X] ≤ E[Y].
En particulier, si X ≥ 0, i.e. si X ne prend que des valeurs positives, on a E[X] ≥ 0.
Dire que X ≤ Y signifie que pour tout ω ∈ Ω, on a X(ω) ≤ Y(ω), autrement dit : quel que soit ce
qui se passe, on aura toujours X plus petit que Y .
Preuve. Dire que X ≥ 0 est équivalent à dire que xi ≥ 0 pour tout i ∈ I. Ainsi l’espérance
E[X] =
i∈I xipi est la somme de termes positifs, elle est donc positive. Par ailleurs, dire que
X ≤ Y est équivalent à dire que la variable Z = (Y − X) est positive. Le point précédent et la
linéarité de l’espérance vue ci-dessus permettent d’en déduire que E[X] ≤ E[Y].
Exemple : min & max. On jette simultanément deux dés et on appelle X (resp. Y ) le minimum
(resp. le maximum) des deux numéros obtenus. Il est bien clair que X ≤ Y et le résultat ci-dessus
nous assure, sans aucun calcul, que E[X] ≤ E[Y].
Corollaire 2.1 (Espérance de la valeur absolue de X)
La variable aléatoire X admet une espérance si et seulement si la variable aléatoire |X| en admet
une, auquel cas :
E[X] ≤ E[|X|].
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2