Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.3. Moments d’une variable discrète 63
Figure 2.3 – Illustration de la non-commutativité de la série harmonique alternée. A gauche :
ln2 ≈ 1.04.
1− 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ 1
5
− 1
6
+··· = ln2 ≈ 0.69. A droite : 1+ 1
3
− 1
2
+ 1
5
+ 1
7
− 1
4
+··· = 3
2
Considérons alors une variable Y à valeurs dans Y = {2,4,−3,6,8,−5,...} et dont la loi est donnée
parÈ(Y = (−1) n+1 (n+1)) = 1/(n(n +1)). Ainsi Y prend les mêmes valeurs que X et avec les
mêmes probabilités : si l’espérance de X était définie, on s’attendrait donc logiquement à ce qu’il
en aille de même pour Y , avec la même valeur moyenne, c’est-à-dire ln2. Or on peut montrer que
le fait de modifier l’ordre de sommation change tout (cf. figure 2.3 à droite) :
2p2 +4p4 −3p3 +6p6 +··· = 1+ 1 1 1 3
− + +··· =
3 2 5 2 ln2.
Ce coup de théâtre est dû au fait qu’une série semi-convergente n’est pas commutative. Or, comme
on vient de le voir, ce phénomène n’est pas du tout souhaitable si on veut définir proprement la
valeur moyenne d’une variable aléatoire, c’est pourquoi on l’avait exclu d’emblée dans la définition
de l’espérance.
Revenons à des choses moins pathologiques. Etant donné une variable X dont on connaît la loi, il
arrive souvent qu’on veuille calculer non pas l’espérance de X, mais l’espérance d’une fonction de
X. Le résultat suivant donne une façon très simple de le faire.
Théorème 2.1 (Théorème de transfert)
Soit X une variable aléatoire discrète et ϕ :Ê→Êune fonction, alors Y = ϕ(X) est encore une
variable aléatoire discrète et son espérance vaut :
E[Y] = E[ϕ(X)] =
ϕ(xi)pi,
sous réserve d’absolue convergence de cette série.
Preuve. Puisque X prend ses valeurs dans un ensemble au plus dénombrable X = (xi)i∈I, Y
prend elle aussi ses valeurs dans un ensemble au plus dénombrable Y = (yj)j∈J = ϕ(X). Pour tout
indice j de J, notons :
Ej = {i ∈ I : ϕ(xi) = yj}
et qj =È(Y = yj) =
i∈Ej pi. Puisque les (yj)j∈J et les (qj)j∈J définissent la loi de Y , son
espérance vaut tout bonnement :
E[Y] =
yjqj =
⎛
yj ⎝
⎞
pi⎠
=
⎛
⎝
⎞
ϕ(xi)pi⎠,
j∈J
j∈J
i∈Ej
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
i∈I
j∈J
i∈Ej