Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

62 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Ce résultat est bien naturel, la loi de X étant symétrique par rapport à 7 (cf. figure 2.1).
L’espérance apparaît donc comme une mesure de tendance centrale.
3. Loi de Poisson P(1) : on considère une variable aléatoire X à valeurs dansÆet dont la loi 1
est donnée par pn =È(X = n) = e −1 /n! pour tout n ≥ 0. Son espérance est bien définie et
vaut :
ce qui s’écrit encore :
E[X] =
+∞
+∞
xnpn =
n=0
E[X] = e −1
+∞
n=1
n=0
n e−1
n!
1
(n−1)!
= e−1
= e−1
+∞
n=0
+∞
n=0
n
n!
= e−1
+∞
n=1
1
n! = e−1 e = 1.
Ainsi une loi de Poisson de paramètre 1 a pour espérance 1. Nous verrons plus loin que ce
résultat se généralise : si X suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors E[X] = λ.
Voyons maintenant deux situations où les choses ne se passent pas bien.
Contre-exemples :
1. Considérons la variable aléatoire X pouvant prendre les valeurs xn = n pour tout n ≥ 1,
c’est-à-dire que X = {1,2,...} et dont la loi est donnée par pn =È(X = n) = 1/(n(n+1)).
Commençons par remarquer que (pn)n≥1 est bien une loi de probabilité puisque :
+∞
+∞
pn =
n=1
n=1
1
n(n+1) =
+∞
n=1
1 1
− = 1,
n n+1
puisqu’on reconnaît dans la dernière expression une somme télescopique. L’espérance de X
n’est pas définie puisque la série harmonique est divergente :
+∞
n=1
|xn|pn =
+∞
+∞
xnpn =
n=1
n=1
1
= +∞.
n+1
2. Plus retors : considérons la variable aléatoireX pouvant prendre les valeursxn = (−1) n+1 (n+
1) pour tout n ≥ 1, c’est-à-dire que X = {2,−3,4,−5,6,−7,...} et dont la loi est donnée par
pn =È(X = (−1) n+1 (n+1)) = 1/(n(n+1)). La série
n≥1 xnpn, bien que convergente :
+∞
+∞
xnpn =
n=1
n=1
(−1) n+1
n
= ln2,
n’est pas absolument convergente puisque
n≥1 |xn|pn =
La variable X n’admet donc pas d’espérance.
n≥1 1
n
n
n! ,
est la série harmonique.
Problème de commutativité. Supposons une seconde que dans l’exemple précédent on admette
que X a une espérance et que celle-ci vaut ln2, puisqu’après tout la série est bien convergente (cf.
figure 2.3 à gauche) :
+∞
n=1
xnpn = 2p2 −3p3 +4p4 −5p5 +6p6 +··· = 1− 1 1 1 1 1
+ − + − +··· = ln2.
2 3 4 5 6
1. On rappelle que pour tout x ∈Ê, on a e x = +∞ x
n=0
n
n! .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités